Dizemos que uma função
é Lipschtziana se existe
tal que, para todo
, tem-se que
. Mostre que
Se
são Lipschitzianas e limitadas, então
é Lipschitziana.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
são funções Lipschitzianas e limitadas, então o produto
também é Lipschitziano. Vamos usar a definição de função Lipschitziana e a hipótese de que
e
são limitadas para encontrar uma constante
tal que, para todo
,
Passo 2
Como
é Lipschitziana, existe
tal que, para todo
,
Analogamente, como
é Lipschitziana, existe
tal que
E como
e
são limitadas, existem constantes
tais que, para todo
,
Passo 3
Para o produto
, escrevemos a diferença entre dois pontos quaisquer
:
Passo 4
Tomando valor absoluto e usando as desigualdades de Lipschitz e de limites:
Portanto,
é Lipschitziana com constante
Resposta
O produto
é Lipschitziano com constante
.