Dizemos que uma função f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é Lipschtziana se existe K>0 tal que, para todo x, y \in A, tem-se que |f(x)-f(y)| \leq K|x-y|. Mostre que
Se f, g: X \rightarrow \mathbb{R} são Lipschitzianas e limitadas, então f \cdot g é Lipschitziana.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se f,g: X\to\mathbb{R} são funções Lipschitzianas e limitadas, então o produto h(x)=f(x)\,g(x) também é Lipschitziano. Vamos usar a definição de função Lipschitziana e a hipótese de que f e g são limitadas para encontrar uma constante K tal que, para todo x,y\in X,
|h(x)-h(y)| \le K\,|x-y|.

Passo 2

Como f é Lipschitziana, existe K_1>0 tal que, para todo x,y\in X,
|f(x)-f(y)| \le K_1\,|x-y|.
Analogamente, como g é Lipschitziana, existe K_2>0 tal que
|g(x)-g(y)| \le K_2\,|x-y|.
E como f e g são limitadas, existem constantes M_1,M_2>0 tais que, para todo x\in X,
|f(x)| \le M_1 \quad\text{e}\quad |g(x)| \le M_2.

Passo 3

Para o produto h(x)=f(x)\,g(x), escrevemos a diferença entre dois pontos quaisquer x,y\in X:
h(x)-h(y) = f(x)\,g(x) - f(y)\,g(y) = f(x)\,\bigl(g(x)-g(y)\bigr) + g(y)\,\bigl(f(x)-f(y)\bigr).

Passo 4

Tomando valor absoluto e usando as desigualdades de Lipschitz e de limites:
\begin{aligned} |h(x)-h(y)| &\le |f(x)|\,|g(x)-g(y)| + |g(y)|\,|f(x)-f(y)|\\\ &\le M_1\,(K_2\,|x-y|) + M_2\,(K_1\,|x-y|)\\\ &= \bigl(M_1\,K_2 + M_2\,K_1\bigr)\,|x-y|. \end{aligned}
Portanto, h é Lipschitziana com constante
K = M_1\,K_2 + M_2\,K_1.

Resposta

O produto f\cdot g é Lipschitziano com constante K = M_1K_2 + M_2K_1.

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