Sejam p(x)=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n} e q(x)=b_{0}+b_{1} x+\cdots+b_{n} x^{n} dois polinômios, com a_{n} \neq 0 e b_{n} \neq 0. Mostre que
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{q(x)}{p(x)}=\frac{b_{n}}{a_{n}}

Passo 1

O enunciado dá dois polinômios de mesmo grau n:
p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n},\quad a_{n}\neq0,
q(x)=b_{0}+b_{1}x+\cdots+b_{n}x^{n},\quad b_{n}\neq0.
Pede-se o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{q(x)}{p(x)}.
O conteúdo é comportamento assintótico de quocientes de polinômios, e vamos usar a ideia de dividir numerador e denominador pela maior potência x^{n}.

Passo 2

Para x>0 podemos escrever
\frac{q(x)}{p(x)} =\frac{b_{0}+b_{1}x+\cdots+b_{n}x^{n}}{a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}} =\frac{x^{n}\bigl(b_{0}x^{-n}+b_{1}x^{-(n-1)}+\cdots+b_{n}\bigr)} {x^{n}\bigl(a_{0}x^{-n}+a_{1}x^{-(n-1)}+\cdots+a_{n}\bigr)}.

Passo 3

Cancelando x^{n} (que é não nulo para x>0), fica
\frac{q(x)}{p(x)} =\frac{b_{0}x^{-n}+b_{1}x^{-(n-1)}+\cdots+b_{n-1}x^{-1}+b_{n}} {a_{0}x^{-n}+a_{1}x^{-(n-1)}+\cdots+a_{n-1}x^{-1}+a_{n}}.

Passo 4

À medida que x\to+\infty, cada termo x^{-k} com k\ge1 tende a zero. Logo em cima e em baixo só sobra o termo constante:
\lim_{x\to+\infty}\bigl(b_{0}x^{-n}+\cdots+b_{n}\bigr)=b_{n}, \quad \lim_{x\to+\infty}\bigl(a_{0}x^{-n}+\cdots+a_{n}\bigr)=a_{n}.
Pelo quociente de limites (já que a_{n}\neq0) obtemos
\lim_{x\to+\infty}\frac{q(x)}{p(x)} =\frac{b_{n}}{a_{n}}.

Resposta

\frac{b_{n}}{a_{n}}.

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