1. Dizemos que m, n, \ldots, p \in \mathbb{N} números consecutivos se, e somente se, a_{m}, a_{n}, \ldots, a_{p} são termos consecutivos de uma Sequência. Sejam a, b, c, d termos consecutivos,nesta ordem, de uma Progressão Aritmética de razão r, mostre que existe x e y tais que
    (a) (a, b, c)=(x, x+r, x+2 r)
    (b) (a, b, c)=(x-r, x, x+r)
    (c) (a, b, c)=(x-2 r, x-r, x)
    (d) (a, b, c, d)=(x-2 r, x-r, x, x+r)
    (e) (a, b, c, d)=(x-r, x, x+r, x+2 r)

Passo 1

O enunciado diz que a,b,c,d são termos consecutivos, nesta ordem, de uma progressão aritmética de razão r. Queremos mostrar que, escolhendo adequadamente um número x, cada 3-tupla (a,b,c) ou 4-tupla (a,b,c,d) fica em um dos formatos indicados.

Passo 2

Como a,b,c são consecutivos em P.A. de razão r, vale
b = a + r, \quad c = b + r = a + 2r.
Dessa forma, sempre podemos escrever
(a,b,c) = (x,\,x+r,\,x+2r)
bastando escolher
x = a.
Isto prova o item (a).

Passo 3

Para obter a configuração (a,b,c)=(x-r,\,x,\,x+r),
basta tomar
x = b.
Então
a = b - r = x - r,\quad b = x,\quad c = b + r = x + r,
que é exatamente o item (b).

Passo 4

Para a configuração (a,b,c)=(x-2r,\,x-r,\,x),
escolhemos
x = c.
Assim
a = c - 2r = x - 2r,\quad b = c - r = x - r,\quad c = x,
o que corresponde ao item (c).

Passo 5

Agora inclua d. Sabemos que
d = c + r.
Usando o mesmo x=c do passo anterior, temos
(a,b,c,d) = (x-2r,\,x-r,\,x,\,x+r),
provando o item (d).

Passo 6

Finalmente, para obter (a,b,c,d)=(x-r,\,x,\,x+r,\,x+2r),
basta tomar
x = b.
Então
a = b - r = x - r,\quad b = x,\quad c = b + r = x + r,\quad d = c + r = x + 2r,
que é exatamente o item (e).

Resposta

(a) (a,b,c)=(x,\,x+r,\,x+2r) com x=a.
(b) (a,b,c)=(x-r,\,x,\,x+r) com x=b.
(c) (a,b,c)=(x-2r,\,x-r,\,x) com x=c.
(d) (a,b,c,d)=(x-2r,\,x-r,\,x,\,x+r) com x=c.
(e) (a,b,c,d)=(x-r,\,x,\,x+r,\,x+2r) com x=b.

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