Sejam a, b, c, d termos consecutivos,nesta ordem, de uma Progressão Aritmética de razão r, mostre que existe x e y tais que
(f) (a, b, c, d)= (x-3 y, x-y, x+y, x+3 y), onde y=\frac{r}{2}.

Passo 1

O enunciado diz que a,b,c,d são termos consecutivos, nessa ordem, de uma progressão aritmética (PA) de razão r. Queremos reescrever esses quatro termos na forma
(a,b,c,d) = (x-3y,\;x-y,\;x+y,\;x+3y)
e mostrar que, de fato, podemos escolher y=\tfrac{r}{2} para isso.

Passo 2

Pela definição de PA, cada termo difere do anterior em r. Logo, a partir de a temos
b = a + r,\quad c = a + 2r,\quad d = a + 3r.

Passo 3

Para achar x e y de modo simétrico em torno dos dois termos centrais b e c, escolhemos
x = \frac{b + c}{2},
que é o ponto médio entre b e c, e
y = \frac{c - b}{2}.

Passo 4

Como c - b = (a+2r) - (a+r) = r, obtemos
y = \frac{r}{2}.

Passo 5

Basta agora verificar cada um dos quatro termos:
x - 3y = \frac{b+c}{2} - 3\cdot\frac{r}{2} = \frac{b+c - 3r}{2} = \frac{(a+r)+(a+2r)-3r}{2} = \frac{2a}{2} = a,
x - y = \frac{b+c}{2} - \frac{r}{2} = \frac{b+c-r}{2} = \frac{(a+r)+(a+2r)-r}{2} = b,
x + y = \frac{b+c}{2} + \frac{r}{2} = c,
x + 3y = \frac{b+c}{2} + 3\cdot\frac{r}{2} = d.

Resposta

x = \frac{b + c}{2}, \quad y = \frac{r}{2},
que de fato dá (a,b,c,d) = (x-3y,\;x-y,\;x+y,\;x+3y).

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