1. Dizemos que m, n, \ldots, p \in \mathbb{N} números consecutivos se, e somente se, a_{m}, a_{n}, \ldots, a_{p} são termos consecutivos de uma Sequência. Sejam a, b, c termos consecutivos, nesta ordem, de uma Progressão Geométrica de razão q, mostre que existe x tal que
    (a) (a, b, c)=\left(x, x q, x q^{2}\right)
    (b) (a, b, c)=\left(\frac{x}{q}, x, x q\right)
    (c) (a, b, c)=\left(\frac{x}{q^{2}}, \frac{x}{q}, x\right)

Passo 1

O enunciado diz que a,b,c são três termos consecutivos, nesta ordem, de uma progressão geométrica de razão q. Isso significa que existem m\in\mathbb{N} e um primeiro termo a_{1} tais que
a = a_{m},\quad b = a_{m+1},\quad c = a_{m+2},
e lembramos que na PG vale a fórmula geral
a_{k} = a_{1}\,q^{\,k-1}.

Passo 2

Seja x = a_{m}. Então
a = x,\quad b = a_{m+1} = a_{1}\,q^{m} = (a_{1}\,q^{m-1})\,q = x\,q,
c = a_{m+2} = a_{1}\,q^{m+1} = (a_{1}\,q^{m-1})\,q^{2} = x\,q^{2}.
Logo
(a,b,c) = \bigl(x,\;xq,\;xq^{2}\bigr),
prova do item (a).

Passo 3

Agora seja x = b = a_{m+1}. Como antes a_{m+1}=a_{1}q^{m}, temos
a = a_{m} = \frac{a_{m+1}}{q} = \frac{x}{q},\quad b = x,\quad c = a_{m+2} = a_{m+1}\,q = x\,q.
Portanto
(a,b,c) = \Bigl(\tfrac{x}{q},\;x,\;xq\Bigr),
que é o item (b).

Passo 4

Finalmente, seja x = c = a_{m+2}. Então
b = a_{m+1} = \frac{a_{m+2}}{q} = \frac{x}{q}, \quad a = a_{m} = \frac{a_{m+1}}{q} = \frac{x}{q^{2}}.
Dessa forma
(a,b,c) = \Bigl(\tfrac{x}{q^{2}},\;\tfrac{x}{q},\;x\Bigr),
que corresponde ao item (c).

Resposta

(a) (a,b,c) = (x,\;xq,\;xq^{2})
(b) (a,b,c) = \bigl(\tfrac{x}{q},\;x,\;xq\bigr)
(c) (a,b,c) = \bigl(\tfrac{x}{q^{2}},\;\tfrac{x}{q},\;x\bigr)

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