Dizer se é ou não correta cada uma das seguintes proposições referentes a vectores de
:
(a) Se
é ortogonal a
, então
para todo o real
.
(b) Se
para todo o
real, então
é ortogonal a
.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
O enunciado trabalha em
com o produto escalar usual e a norma associada
. As proposições relacionam ortogonalidade de
e
(isto é,
) com a desigualdade
Para resolver, vamos escrever
em função de
e analisar.
Passo 2
Suponha que
seja ortogonal a
, ou seja
. Então
Como
para todo
, segue
e, tomando raiz não–negativa,
Logo (a) é verdadeira.
Passo 3
Agora suponha que
Eleve ao quadrado:
Defina
. Se
então
e
trivialmente. Se
,
é uma quadrática de concavidade para cima cujo valor mínimo ocorre em
valendo
Portanto
é ortogonal a
e (b) é verdadeira.
Resposta
(a) Verdadeira.
(b) Verdadeira.
(b) Verdadeira.