Provar que para dois vectores
e
de
se tem a identidade
e por isso
se o só se
. Quando isto é interpretado geometricamente em
, significa que as diagonais de um paralelogramo têm comprimento igual se e somente se o paralelogramo for un retângulo.
Passo 1
O enunciado pede para provar, em um espaço vetorial
com produto interno “
” e norma
, que para quaisquer vetores
e
vale a identidade
e então mostrar que
se e só se
. Em seguida, interpretar geometricamente em
e relacionar com as diagonais de um paralelogramo.
Passo 2
Lembrando que em espaços com produto interno vale
, fazemos as expansões:
Passo 3
Subtraindo as duas expressões:
Isso prova a identidade desejada.
Passo 4
Da identidade segue imediatamente que
Como
, igualdade de quadrados implica igualdade das normas, e temos
se e só se
.
Passo 5
Em
, dados dois vetores
e
como lados adjacentes de um paralelogramo, as diagonais são os vetores
e
. Logo:
Isto mostra que as diagonais de um paralelogramo têm comprimentos iguais se e somente se ele é um retângulo.
Resposta
Prova da identidade:
Daí segue que
se e só se
, e em
isso equivale a dizer que um paralelogramo cujas diagonais são
e
é retângulo.