Provar que para dois vectores A e B de V_{n} se tem a identidade
\|A+B\|^{2}-\|A-B\|^{2}=4 A \cdot B,
e por isso A \cdot B=0 se o só se \|A+B\|=\|A-B\|. Quando isto é interpretado geometricamente em V_{2}, significa que as diagonais de um paralelogramo têm comprimento igual se e somente se o paralelogramo for un retângulo.

Passo 1

O enunciado pede para provar, em um espaço vetorial V_n com produto interno “ \cdot” e norma \|\cdot\|, que para quaisquer vetores A e B vale a identidade
\|A+B\|^{2}-\|A-B\|^{2}=4\,A\cdot B,
e então mostrar que A\cdot B=0 se e só se \|A+B\|=\|A-B\|. Em seguida, interpretar geometricamente em V_2 e relacionar com as diagonais de um paralelogramo.

Passo 2

Lembrando que em espaços com produto interno vale \|X\|^2=X\cdot X, fazemos as expansões:
\|A+B\|^{2}=(A+B)\cdot(A+B) =A\cdot A +2\,A\cdot B + B\cdot B,
\|A-B\|^{2}=(A-B)\cdot(A-B) =A\cdot A -2\,A\cdot B + B\cdot B.

Passo 3

Subtraindo as duas expressões:
\|A+B\|^{2}-\|A-B\|^{2} =\bigl(A\cdot A +2\,A\cdot B + B\cdot B\bigr) -\bigl(A\cdot A -2\,A\cdot B + B\cdot B\bigr) =4\,A\cdot B.
Isso prova a identidade desejada.

Passo 4

Da identidade segue imediatamente que
\|A+B\|^{2}=\|A-B\|^{2} \quad\Longleftrightarrow\quad 4\,A\cdot B=0 \quad\Longleftrightarrow\quad A\cdot B=0.
Como \|X\|\ge0, igualdade de quadrados implica igualdade das normas, e temos \|A+B\|=\|A-B\| se e só se A\cdot B=0.

Passo 5

Em V_2, dados dois vetores A e B como lados adjacentes de um paralelogramo, as diagonais são os vetores A+B e A-B. Logo:
\|A+B\|=\|A-B\| \quad\Longleftrightarrow\quad A\cdot B=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \text{ângulo entre \(A\) e \(B\) é reto.}âé
Isto mostra que as diagonais de um paralelogramo têm comprimentos iguais se e somente se ele é um retângulo.

Resposta

Prova da identidade:
\|A+B\|^{2}-\|A-B\|^{2}=4\,A\cdot B.
Daí segue que \|A+B\|=\|A-B\| se e só se A\cdot B=0, e em V_2 isso equivale a dizer que um paralelogramo cujas diagonais são A+B e A-B é retângulo.

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