Dizer se é ou não correta cada uma das seguintes proposições referentes a vectores de V_{n} :
(a) Se A é ortogonal a B, então \|A+x B\| \geq\|A\| para todo o real x.
(b) Se \|A+x B\| \geq\|A\| para todo o x real, então A é ortogonal a B.

Passo 1

O enunciado trabalha em \mathbb{R}^n com o produto escalar usual e a norma associada \|X\|=\sqrt{\langle X,X\rangle}. As proposições relacionam ortogonalidade de A e B (isto é, \langle A,B\rangle=0) com a desigualdade
\|A+xB\|\ge\|A\| \quad\forall x\in\mathbb{R}.
Para resolver, vamos escrever \|A+xB\|^2 em função de \langle A,B\rangle e analisar.

Passo 2

Suponha que A seja ortogonal a B, ou seja \langle A,B\rangle=0. Então
\|A+xB\|^2 =\langle A+xB,\,A+xB\rangle =\|A\|^2+2x\langle A,B\rangle+x^2\|B\|^2 =\|A\|^2+x^2\|B\|^2.
Como x^2\|B\|^2\ge0 para todo x, segue \|A+xB\|^2\ge\|A\|^2 e, tomando raiz não–negativa,
\|A+xB\|\ge\|A\| \quad\forall x.
Logo (a) é verdadeira.

Passo 3

Agora suponha que
\|A+xB\|\ge\|A\| \quad\forall x\in\mathbb{R}.
Eleve ao quadrado:
\|A+xB\|^2-\|A\|^2 =2x\langle A,B\rangle+x^2\|B\|^2\ge0 \quad\forall x.
Defina q(x)=x^2\|B\|^2+2x\langle A,B\rangle. Se \|B\|=0 então B=0 e \langle A,B\rangle=0 trivialmente. Se \|B\|>0, q é uma quadrática de concavidade para cima cujo valor mínimo ocorre em
x_0=-\frac{\langle A,B\rangle}{\|B\|^2},
valendo
q(x_0) =-\frac{\langle A,B\rangle^2}{\|B\|^2}\ge0 \;\Longrightarrow\; \langle A,B\rangle^2\le0 \;\Longrightarrow\; \langle A,B\rangle=0.
Portanto A é ortogonal a B e (b) é verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeira.
(b) Verdadeira.

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