Dizer se são convergentes ou divergentes as séries:
sumn=1^+infty x^nn+n^2, x>0

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^inftyx^nn+n^2, x>0
O conteúdo que vamos usar é o Critério da raiz (ou da razão) para séries de termos positivos, além de um teste ao caso limite x=1.

Passo 2

Aplicamos o Critério da raiz. Seja
an = x^nn+n^2
Calculamos
limntoinftyraiz[n]an = limntoinftyraiz[n]x^nraiz[n]n+n^2 = xlimntoinftyraiz[n]n(1+n)
Como raiz[n]n(1+n)to1, temos
limntoinftyraiz[n]an=x

Passo 3

Pelo Critério da raiz, se esse limite é menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge. Logo:
- Para 0<x<1, temos limraiz[n]an=x<1, então a série converge absolutamente.
- Para x>1, temos limraiz[n]an=x>1, então a série diverge (os termos não tendem a zero).

Passo 4

Resta checar o caso x=1. A série fica
sumn=1^infty1^nn+n^2 =sumn=1^infty1n(1+n)
Para grandes n, 1n(1+n)sim1n^2, e como sum1/n^2 é convergente ( p-série com p=2>1), por comparação a nossa série em x=1 também converge.

Resposta

A série converge para 0<x<=1 e diverge para x>1.

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