O dobro de um número somado a 8 é menor ou igual a 20 . Determine o intervalo de valores possíveis para esse número.

Passo 1

O enunciado diz: “O dobro de um número somado a 8 é menor ou igual a 20.”
Vamos traduzir isso para uma desigualdade com uma variável. Chamemos o número de \,x. As informações dadas são:
  • A expressão “o dobro de um número” vira \,2x.
  • “Somado a 8” vira +8.
  • “É menor ou igual a 20” vira \le 20.
Portanto, o enunciado fornece a desigualdade
2x + 8 \le 20.
O que é pedido: determinar o intervalo de valores possíveis para \,x que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Primeira operação para isolar \,x: subtrair 8 dos dois lados da desigualdade. Regra usada: pode-se somar ou subtrair o mesmo número em ambos os lados de uma desigualdade sem mudar a solução. Aplicando:
2x + 8 - 8 \le 20 - 8
o que simplifica para
2x \le 12.

Passo 3

Agora dividir por 2 para obter \,x. Regra usada: ao dividir (ou multiplicar) ambos os lados de uma desigualdade por um número positivo, a direção da desigualdade permanece a mesma; se fosse número negativo, a desigualdade inverteria (vou mostrar um exemplo depois). Como 2 é positivo, dividimos:
\frac{2x}{2} \le \frac{12}{2}
o que dá
x \le 6.

Passo 4

Interpretação da solução \,x \le 6: significa que qualquer número real menor ou igual a 6 satisfaz a desigualdade original. Vamos checar alguns exemplos rápidos para ganhar confiança:
  • Teste com \,x=6: 2\cdot6+8 = 12+8 = 20, e 20 \le 20 é verdade. OK.
  • Teste com \,x=0: 2\cdot0+8 = 8, e 8 \le 20 é verdade. OK.
  • Teste com \,x=7: 2\cdot7+8 = 14+8 = 22, e 22 \le 20 é falso. Então valores maiores que 6 não servem.

Passo 5

Expressão da solução em forma de intervalo e interpretação gráfica: a solução é todos os reais até 6, incluindo 6. Em notação intervalo isso se escreve
(-\infty,\,6].
No eixo dos números, representa-se com uma região que vai para a esquerda até o infinito e uma bolinha fechada (ou colchete) em 6.
Dica rápida sobre desigualdades (útil na prova): se numa etapa for preciso dividir por um número negativo, lembre-se de inverter a desigualdade. Exemplo curto: se tivesse -2x \le 12, dividindo por -2 obteria x \ge -6 (observe o sinal da desigualdade invertido).

Resposta

(-\infty,\,6]

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