Um doente toma duas pílulas de certo remédio no primeiro dia, quatro no segundo dia, seis no terceiro dia e assim sucessivamente até terminar o conteúdo do vidro. Em quantos dias terá tomado todo o conteúdo, que é de 72 pílulas?
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
Passo 1
O enunciado diz que o doente toma
pílulas no primeiro dia,
no segundo,
no terceiro e assim por diante até acabar um frasco com
pílulas.
O que é pedido: determinar em quantos dias ele terá tomado todas as
pílulas.
Informações importantes dadas:
O que é pedido: determinar em quantos dias
Informações importantes dadas:
-
(primeiro termo, pílulas no 1.º dia), - a sequência dos números de pílulas é
, - soma total
.
Não se resolve nada ainda aqui — só organizei os dados e o que precisamos achar:.
Passo 2
Vamos aprender a ferramenta que usaremos: progressão aritmética (PA) e soma dos seus termos.
- Uma PA é uma sequência em que a diferença entre termos consecutivos é constante. Essa diferença é chamada de razão
. Aqui a razão é porque cada dia toma pílulas a mais que o anterior. - O termo geral de uma PA é dado por
onde
é o
-ésimo termo,
é o primeiro termo,
a razão e
o número de termos (neste problema, número de dias).
- A soma dos
primeiros termos de uma PA é dada por uma das fórmulas equivalentes
ou
Aqui
é a soma dos primeiros
termos (neste problema queremos
). Essas fórmulas vêm da ideia de emparelhar o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo, etc., cada par somando o mesmo valor.
Passo 3
Aplique as fórmulas ao nosso caso.
Primeiro obtenho o termo geral
usando
e
:
Agora uso a fórmula da soma
. Substituindo
e
:
Simplificando:
Portanto, a soma das pílulas tomadas em
dias é
.
Passo 4
Queremos
. Então resolvemos a equação
Desenvolvendo:
Resolvendo essa quadrática (fórmula de Bhaskara / fórmula quadrática):
As duas raízes são
e
. Como
representa número de dias, deve ser positivo, então escolhemos
Passo 5
Verificação rápida para ter confiança: o último termo
é
. A soma dos
primeiros termos é
. Outra verificação prática: emparelhar termos 1.º+8.º, 2.º+7.º, etc. dá
,
,
,
. São
pares com soma
:
. Beleza — bate certinho.
Passo 6
Resposta final: o doente terminará o frasco em
dias. Vai dar tempo de fechar o vidro com estilo — e agora já sabe usar PA e soma de termos, que caem muito em prova. Força aí nos estudos, você consegue!
Resposta
b)