Um doente toma duas pílulas de certo remédio no primeiro dia, quatro no segundo dia, seis no terceiro dia e assim sucessivamente até terminar o conteúdo do vidro. Em quantos dias terá tomado todo o conteúdo, que é de 72 pílulas?
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14

Passo 1

O enunciado diz que o doente toma 2 pílulas no primeiro dia, 4 no segundo, 6 no terceiro e assim por diante até acabar um frasco com 72 pílulas.
O que é pedido: determinar em quantos dias n ele terá tomado todas as 72 pílulas.
Informações importantes dadas:
  • a_1 = 2 (primeiro termo, pílulas no 1.º dia),
  • a sequência dos números de pílulas é 2,4,6,\dots,
  • soma total S = 72.
    Não se resolve nada ainda aqui — só organizei os dados e o que precisamos achar: n.

Passo 2

Vamos aprender a ferramenta que usaremos: progressão aritmética (PA) e soma dos seus termos.
  • Uma PA é uma sequência em que a diferença entre termos consecutivos é constante. Essa diferença é chamada de razão d. Aqui a razão é d=2 porque cada dia toma 2 pílulas a mais que o anterior.
  • O termo geral de uma PA é dado por
a_n = a_1 + (n-1)d,
onde a_n é o n-ésimo termo, a_1 é o primeiro termo, d a razão e n o número de termos (neste problema, número de dias).
  • A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por uma das fórmulas equivalentes
S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n)
ou
S_n = \frac{n}{2}\,\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr).
Aqui S_n é a soma dos primeiros n termos (neste problema queremos S_n=72). Essas fórmulas vêm da ideia de emparelhar o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo, etc., cada par somando o mesmo valor.

Passo 3

Aplique as fórmulas ao nosso caso.
Primeiro obtenho o termo geral a_n usando a_1=2 e d=2:
a_n = 2 + (n-1)\cdot 2 = 2n.
Agora uso a fórmula da soma S_n = \dfrac{n}{2}(a_1 + a_n). Substituindo a_1=2 e a_n=2n:
S_n = \frac{n}{2}\,(2 + 2n).
Simplificando:
S_n = \frac{n}{2}\cdot 2(1+n) = n(1+n) = n(n+1).
Portanto, a soma das pílulas tomadas em n dias é S_n = n(n+1).

Passo 4

Queremos S_n = 72. Então resolvemos a equação
n(n+1)=72.
Desenvolvendo:
n^2+n-72=0.
Resolvendo essa quadrática (fórmula de Bhaskara / fórmula quadrática):
n=\frac{-1\pm\sqrt{1+4\cdot72}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+288}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{289}}{2}=\frac{-1\pm17}{2}.
As duas raízes são n=\dfrac{-1+17}{2}=\dfrac{16}{2}=8 e n=\dfrac{-1-17}{2}=-9. Como n representa número de dias, deve ser positivo, então escolhemos
n=8.

Passo 5

Verificação rápida para ter confiança: o último termo a_8 é 2\cdot 8=16. A soma dos 8 primeiros termos é 8\cdot9=72. Outra verificação prática: emparelhar termos 1.º+8.º, 2.º+7.º, etc. dá 2+16=18, 4+14=18, 6+12=18, 8+10=18. São 4 pares com soma 18: 4\cdot18=72. Beleza — bate certinho.

Passo 6

Resposta final: o doente terminará o frasco em 8 dias. Vai dar tempo de fechar o vidro com estilo — e agora já sabe usar PA e soma de termos, que caem muito em prova. Força aí nos estudos, você consegue!

Resposta

b) 8

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