(UECE) Os estudiosos de astronomia constataram que o Cometa Halley se aproxima e pode ser visto da Terra a cada 76 anos. A mais antiga visão de que se tem registro data do ano de 1530 e a mais recente ocorreu em 1986. Uma vez mantida a constatação da periodicidade do cometa, responda:
a) Quantas vezes já foi registrado a passagem do Cometa Halley pela Terra?
b) Quando o Cometa Halley poderá ser visto da Terra novamente?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tomei estes números do enunciado):
  • Ano da mais antiga visão registrada: \,1530.
  • Período de retorno do cometa: \,76 anos.
  • Ano da visão mais recente registrada: \,1986.
Perguntas do enunciado:
a) Quantas vezes já foi registrada a passagem do Cometa Halley entre \,1530 e \,1986 (incluindo essas observações)?
b) Em que ano o Cometa Halley poderá ser visto da Terra novamente após \,1986?

Passo 2

Modelagem matemática e fórmula que vamos usar — explicação didática passo a passo.
Quando um evento ocorre repetidamente a intervalos fixos, os anos das aparições formam uma progressão aritmética (PA). Vou explicar o que é uma PA e a fórmula que serve para esse tipo de problema.
  • Definição simples: uma progressão aritmética é uma sequência de números em que a diferença entre um termo e o seguinte é sempre a mesma. Essa diferença chama-se razão e eu vou denotá-la por \,d.
  • Notação e fórmula do termo geral: se \,a_1 é o primeiro termo e \,d é a razão, então o n-ésimo termo \,a_n da PA é dado por
a_n = a_1 + (n-1)\,d.
Aqui:
  • \,a_n é o ano da n-ésima aparição que queremos calcular;
  • \,a_1 é o ano da primeira aparição registrada (no nosso caso \,1530);
  • \,d é o intervalo entre aparições (no nosso caso \,76);
  • \,n é o número ordinal da aparição (1ª, 2ª, 3ª, …).
Para contar quantas vezes algo aconteceu entre dois anos inclusive, podemos: (i) resolver a equação a_n= ano final para n; ou (ii) listar os termos e contá-los. Vou usar (i) porque é direto em provas.

Passo 3

Identificar os parâmetros da PA para este problema.
  • Primeiro termo: \,a_1 = 1530. (pego do enunciado)
  • Razão: \,d = 76. (pego do enunciado)
  • Ano de referência final: \,1986. (pego do enunciado)
Agora aplico a fórmula do termo geral para achar quantas aparições existem até \,1986.

Passo 4

Calcular o número de aparições até \,1986 resolvendo a_n = 1986.
Começo da equação:
a_n = a_1 + (n-1)\,d.
Substituindo os valores:
1986 = 1530 + (n-1)\cdot 76.
Isolo o termo com n:
1986 - 1530 = (n-1)\cdot 76.
Calculo a diferença:
456 = (n-1)\cdot 76.
Divido ambos os lados por \,76:
\frac{456}{76} = n-1.
Como \frac{456}{76} = 6, obtemos
6 = n-1.
Logo
n = 6 + 1 = 7.
Interpretação: entre \,1530 e \,1986, inclusive, o Cometa Halley foi registrado \,7 vezes.

Passo 5

Verificação por listagem (ajuda a entender e a conferir contas) — listar os anos e contar.
Começando em \,1530 e somando \,76 repetidamente:
1530,\\\ 1530+76=1606,\\\ 1606+76=1682,\\\ 1682+76=1758,\\\ 1758+76=1834,\\\ 1834+76=1910,\\\ 1910+76=1986.
Contando os termos da lista: 1,2,3,4,5,6,7 — confirma que são \,7 aparições. Boa checagem!

Passo 6

Calcular a próxima aparição após \,1986.
Em uma PA, o termo seguinte é sempre o termo atual mais \,d:
a_{n+1} = a_n + d.
Aqui, a próxima aparição será
1986 + 76 = 2062.
Portanto o Cometa Halley poderá ser visto novamente em \,2062.

Passo 7

Resumo rápido para a prova (truques e como lembrar):
  • Identifique o primeiro ano e a diferença; reconheça que é uma PA.
  • Use a_n = a_1 + (n-1)d para achar quantos termos até um ano final.
  • Para o próximo ano, some a razão ao último ano conhecido.
    Vai dar certo — respira fundo e confia no raciocínio que você acabou de ver passo a passo!

Resposta

a) 7
b) 2062

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