(UECE) Os estudiosos de astronomia constataram que o Cometa Halley se aproxima e pode ser visto da Terra a cada 76 anos. A mais antiga visão de que se tem registro data do ano de 1530 e a mais recente ocorreu em 1986. Uma vez mantida a constatação da periodicidade do cometa, responda:
a) Quantas vezes já foi registrado a passagem do Cometa Halley pela Terra?
b) Quando o Cometa Halley poderá ser visto da Terra novamente?
a) Quantas vezes já foi registrado a passagem do Cometa Halley pela Terra?
b) Quando o Cometa Halley poderá ser visto da Terra novamente?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (tomei estes números do enunciado):
- Ano da mais antiga visão registrada:
- Período de retorno do cometa:
anos. - Ano da visão mais recente registrada:
Perguntas do enunciado:
a) Quantas vezes já foi registrada a passagem do Cometa Halley entre e
(incluindo essas observações)?
b) Em que ano o Cometa Halley poderá ser visto da Terra novamente após ?
a) Quantas vezes já foi registrada a passagem do Cometa Halley entre
b) Em que ano o Cometa Halley poderá ser visto da Terra novamente após
Passo 2
Modelagem matemática e fórmula que vamos usar — explicação didática passo a passo.
Quando um evento ocorre repetidamente a intervalos fixos, os anos das aparições formam uma progressão aritmética (PA). Vou explicar o que é uma PA e a fórmula que serve para esse tipo de problema.
- Definição simples: uma progressão aritmética é uma sequência de números em que a diferença entre um termo e o seguinte é sempre a mesma. Essa diferença chama-se razão e eu vou denotá-la por
. - Notação e fórmula do termo geral: se
é o primeiro termo e é a razão, então o -ésimo termo da PA é dado por
Aqui:
-
é o ano da -ésima aparição que queremos calcular; -
é o ano da primeira aparição registrada (no nosso caso ); -
é o intervalo entre aparições (no nosso caso ); -
é o número ordinal da aparição (1ª, 2ª, 3ª, …).
Para contar quantas vezes algo aconteceu entre dois anos inclusive, podemos: (i) resolver a equação
ano final para
; ou (ii) listar os termos e contá-los. Vou usar (i) porque é direto em provas.
Passo 3
Identificar os parâmetros da PA para este problema.
- Primeiro termo:
(pego do enunciado) - Razão:
(pego do enunciado) - Ano de referência final:
(pego do enunciado)
Agora aplico a fórmula do termo geral para achar quantas aparições existem até
.
Passo 4
Calcular o número de aparições até
resolvendo
.
Começo da equação:
Substituindo os valores:
Isolo o termo com
:
Calculo a diferença:
Divido ambos os lados por
:
Como
, obtemos
Logo
Interpretação: entre
e
, inclusive, o Cometa Halley foi registrado
vezes.
Passo 5
Verificação por listagem (ajuda a entender e a conferir contas) — listar os anos e contar.
Começando em
e somando
repetidamente:
Contando os termos da lista:
— confirma que são
aparições. Boa checagem!
Passo 6
Calcular a próxima aparição após
.
Em uma PA, o termo seguinte é sempre o termo atual mais
:
Aqui, a próxima aparição será
Portanto o Cometa Halley poderá ser visto novamente em
Passo 7
Resumo rápido para a prova (truques e como lembrar):
- Identifique o primeiro ano e a diferença; reconheça que é uma PA.
- Use
para achar quantos termos até um ano final. - Para o próximo ano, some a razão ao último ano conhecido.
Vai dar certo — respira fundo e confia no raciocínio que você acabou de ver passo a passo!
Resposta
a)
b)
b)