(FGV-SP) Um terreno é vendido através de um plano de pagamentos mensais onde o primeiro pagamento de
500,00
\mathrm{R} $550,00
\mathrm{R} $ 600
\mathrm{R} $50,00$ ).
a) Qual o total pago por um cliente que compra o imóvel em 20 pagamentos?
b) Se o cliente tivesse pago um total de
86.250,00$, qual teria sido o número de pagamentos?
a) Qual o total pago por um cliente que compra o imóvel em 20 pagamentos?
b) Se o cliente tivesse pago um total de
Passo 1
O enunciado dá um plano de pagamentos mensais em que cada pagamento aumenta sempre
em relação ao anterior. Dados importantes:
- Primeiro pagamento:
. - Cada pagamento seguinte é o anterior mais
. - (a) Pede o total pago quando o cliente faz
pagamentos. - (b) Pede quantos pagamentos foram feitos se o total pago foi
.
Passo 2
Reconhecemos uma progressão aritmética (PA): uma sequência de números em que cada termo é obtido somando uma constante (diferença) ao termo anterior.
- Denotar o primeiro termo por
e a diferença comum por .
Aquie .
Fórmulas-chave (vou explicar e usar):
-
-ésimo termo da PA:
onde
é o
-ésimo pagamento,
é o primeiro pagamento,
é a diferença e
é o número de termos.
- Soma dos
primeiros termos da PA:
Breve derivação intuitiva (útil na prova): escreva a soma na ordem direta e na ordem reversa, some termo a termo e observe que cada par soma o mesmo valor; daí aparece a fórmula acima.
Passo 3
Resolvendo (a): queremos
com
,
e
.
Aplicando a fórmula da soma:
Calcule passo a passo o que está dentro dos parênteses:
Portanto
Agora a multiplicação externa:
Isto representa
em reais.
Passo 4
Resolvendo (b): agora sabemos
e queremos
. Usamos a mesma fórmula da soma:
Substituindo
e
(vou omitir o símbolo de moeda nas contas intermediárias para clareza matemática, mas os valores são em reais):
Calcule a expressão interior:
Então
Fatorando
dentro:
Simplificando
:
Divida ambos os lados por
:
Isto gera a equação quadrática:
Passo 5
Resolver a quadrática
. Use a fórmula de Bhaskara (ou fatoração se possível). Primeiro o discriminante:
Verifica-se que
porque
. Logo:
As soluções são
ou
Como
representa número de pagamentos, deve ser inteiro positivo, então
.
Resposta
(a)
(b) pagamentos
(b)