(FGV-SP) Um terreno é vendido através de um plano de pagamentos mensais onde o primeiro pagamento de \mathrm{R} \ 500,00 é feito um mês após a compra; o segundo, deéêó\mathrm{R} $550,00 é feito dois meses após a compra; o terceiro, deéó\mathrm{R} $ 600 , 00 é feito três meses após a compra e assim por diante (isto é, cada pagamento mensal é igual ao anterior acrescido deéêóéé\mathrm{R} $50,00$ ).
a) Qual o total pago por um cliente que compra o imóvel em 20 pagamentos?
b) Se o cliente tivesse pago um total de \mathrm{R} \ 86.250,00$, qual teria sido o número de pagamentos?

Passo 1

O enunciado dá um plano de pagamentos mensais em que cada pagamento aumenta sempre \text{R}\$\,50,00 em relação ao anterior. Dados importantes:
  • Primeiro pagamento: \text{R}\$\,500,00.
  • Cada pagamento seguinte é o anterior mais \text{R}\$\,50,00.
  • (a) Pede o total pago quando o cliente faz 20 pagamentos.
  • (b) Pede quantos pagamentos foram feitos se o total pago foi \text{R}\$\,86.250,00.

Passo 2

Reconhecemos uma progressão aritmética (PA): uma sequência de números em que cada termo é obtido somando uma constante (diferença) ao termo anterior.
  • Denotar o primeiro termo por a_1 e a diferença comum por d.
    Aqui a_1=\text{R}\$\,500,00 e d=\text{R}\$\,50,00.
Fórmulas-chave (vou explicar e usar):
  1. n-ésimo termo da PA:
a_n = a_1 + (n-1)d,
onde a_n é o n-ésimo pagamento, a_1 é o primeiro pagamento, d é a diferença e n é o número de termos.
  1. Soma dos n primeiros termos da PA:
S_n = \frac{n}{2}\,\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr).
Breve derivação intuitiva (útil na prova): escreva a soma na ordem direta e na ordem reversa, some termo a termo e observe que cada par soma o mesmo valor; daí aparece a fórmula acima.

Passo 3

Resolvendo (a): queremos S_{20} com a_1=\text{R}\$\,500,00, d=\text{R}\$\,50,00 e n=20.
Aplicando a fórmula da soma:
S_{20} = \frac{20}{2}\,\bigl(2\cdot 500 + (20-1)\cdot 50\bigr).
Calcule passo a passo o que está dentro dos parênteses:
2\cdot 500 = 1000, \qquad (20-1)\cdot 50 = 19\cdot 50 = 950.
Portanto
2\cdot 500 + 19\cdot 50 = 1000 + 950 = 1950.
Agora a multiplicação externa:
S_{20} = \frac{20}{2}\cdot 1950 = 10\cdot 1950 = 19\,500.
Isto representa \text{R}\$\,19.500,00 em reais.

Passo 4

Resolvendo (b): agora sabemos S_n=\text{R}\$\,86.250,00 e queremos n. Usamos a mesma fórmula da soma:
\frac{n}{2}\,\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr) = 86\,250.
Substituindo a_1=500 e d=50 (vou omitir o símbolo de moeda nas contas intermediárias para clareza matemática, mas os valores são em reais):
\frac{n}{2}\,\bigl(2\cdot 500 + (n-1)\cdot 50\bigr) = 86\,250.
Calcule a expressão interior:
2\cdot 500 + (n-1)\cdot 50 = 1000 + 50(n-1) = 1000 + 50n -50 = 950 + 50n.
Então
\frac{n}{2}\,(50n + 950) = 86\,250.
Fatorando 50 dentro:
\frac{n}{2}\cdot 50 (n+19) = 86\,250.
Simplificando \frac{50}{2}=25:
25\,n(n+19) = 86\,250.
Divida ambos os lados por 25:
n(n+19) = \frac{86\,250}{25} = 3\,450.
Isto gera a equação quadrática:
n^2 + 19n - 3\,450 = 0.

Passo 5

Resolver a quadrática n^2 + 19n - 3\,450 = 0. Use a fórmula de Bhaskara (ou fatoração se possível). Primeiro o discriminante:
\Delta = 19^2 - 4\cdot 1\cdot(-3\,450) = 361 + 13\,800 = 14\,161.
Verifica-se que 14\,161 = 119^2 porque 119\cdot 119 = 14\,161. Logo:
n = \frac{-19 \pm 119}{2}.
As soluções são
n = \frac{-19 + 119}{2} = \frac{100}{2} = 50
ou
n = \frac{-19 - 119}{2} = \frac{-138}{2} = -69.
Como n representa número de pagamentos, deve ser inteiro positivo, então n=50.

Resposta

(a) \text{R}\$\,19.500,00
(b) 50 pagamentos

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