Dois auto-falantes esféricos, pequenos, emitem simultaneamente uma nota com comprimento de onda
. Os auto-falantes estão separados por uma distância de
. Se o microfone move-se ao longo da linha entre os dois centros, para qual posição ele detecta (a) um som inesperadamente alto e (b) um som inesperadamente baixo?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois alto-falantes esféricos que estão emitindo uma nota com comprimento de onda
. Eles estão separados por uma distância de
. Um microfone está se movendo ao longo da linha que une os centros dos alto-falantes. Queremos descobrir em quais posições o microfone vai detectar um som bem alto (interferência construtiva) e um som bem baixo (interferência destrutiva). Para resolver isso, vamos usar o conceito de interferência de ondas, que é quando duas ondas se encontram e podem se reforçar ou se anular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa interferência construtiva e destrutiva. A interferência construtiva acontece quando as ondas estão alinhadas, ou seja, os picos de uma coincide com os picos da outra. Isso faz com que o som seja mais alto. Matemáticamente, isso ocorre quando a diferença de caminho é múltiplo inteiro do comprimento de onda
:
Já a interferência destrutiva acontece quando os picos de uma onda coincidem com os vales da outra, cancelando-se parcialmente. Isso resulta em um som mais baixo. Isso acontece quando a diferença de caminho é um múltiplo ímpar meio do comprimento de onda:
Passo 3
Vamos definir
como a distância entre os alto-falantes, que é
. O microfone está se movendo ao longo dessa distância, então vamos chamar a posição do microfone de
em relação a um dos alto-falantes. A diferença de caminho
será:
Queremos que essa diferença seja igual a
para encontrar as posições onde o som é mais alto e
para onde é mais baixo.
Passo 4
Vamos primeiro encontrar as posições onde o som é mais alto (interferência construtiva). Igualamos a diferença de caminho a
:
Resolvendo para
:
Agora, vamos achar os valores de
que fazem
estar entre 0 e
.
Passo 5
Testando valores de
:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Valores de
maiores que 3 resultam em posições negativas, então não são válidos.
Passo 6
Agora, vamos encontrar as posições onde o som é mais baixo (interferência destrutiva). Igualamos a diferença de caminho a
:
Resolvendo para
:
Vamos testar valores de
similares para encontrar
dentro do intervalo.
Passo 7
Testando valores de
:
- Para
: - Para
: - Para
:
Valores de
maiores resultam em
negativos ou além de
, então não consideramos.
Resposta
(a) O microfone detecta um som inesperadamente alto nas posições:
(b) O microfone detecta um som inesperadamente baixo nas posições: