Uma carga -q e outra 2 q estão fixas e distantes d uma da outra. Determine a expressão do campo elétrico ao longo do eixo que une as cargas. Faça um esboço dessa função. Teste sua resposta usando limites simples e análise dimensional.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas cargas elétricas: uma com carga -q e outra com carga 2q, separadas por uma distância d. Nosso objetivo é encontrar a expressão do campo elétrico ao longo do eixo que une essas duas cargas. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb e a superposição de campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine que temos duas cargas fixas alinhadas ao longo de um eixo, digamos, o eixo x. Colocamos a carga -q na posição x = 0 e a carga 2q na posição x = d. Queremos encontrar o campo elétrico em qualquer ponto ao longo desse eixo.

Passo 3

Lembrando da Lei de Coulomb, o campo elétrico E devido a uma carga pontual Q em um ponto a uma distância r dessa carga é dado por:
E = k Qr^2
onde k é a constante eletrostática.

Passo 4

Como temos duas cargas, vamos usar o princípio da superposição, que diz que o campo elétrico resultante é a soma vetorial dos campos elétricos individuais. Então, em um ponto qualquer ao longo do eixo x, o campo total será a soma do campo produzido por -q e pelo 2q.

Passo 5

Vamos chamar um ponto qualquer no eixo x de x. Precisamos considerar duas regiões: antes da carga -q ( x < 0), entre as duas cargas ( 0 < x < d) e depois da carga 2q ( x > d). Vamos calcular o campo em cada uma dessas regiões.

Passo 6

Região 1: x < 0
  • Distância da carga -q até o ponto: |x| = -x
  • Distância da carga 2q até o ponto: d + |x| = d - x
O campo produzido por -q aponta em direção à carga (pois é negativa):
E-q = k -qx^2
O campo produzido por 2q aponta para longe da carga (pois é positiva):
E2q = k 2q(d - x)^2
Então, o campo total:
E = E-q + E2q = k ( -qx^2 + 2q(d - x)^2 )

Passo 7

Região 2: 0 < x < d
  • Distância da carga -q até o ponto: x
  • Distância da carga 2q até o ponto: d - x
O campo produzido por -q aponta em direção à carga:
E-q = k -qx^2
O campo produzido por 2q aponta para longe da carga:
E2q = k 2q(d - x)^2
Campo total:
E = E-q + E2q = k ( -qx^2 + 2q(d - x)^2 )

Passo 8

Região 3: x > d
  • Distância da carga -q até o ponto: x
  • Distância da carga 2q até o ponto: x - d
O campo produzido por -q aponta em direção à carga:
E-q = k -qx^2
O campo produzido por 2q aponta para longe da carga:
E2q = k 2q(x - d)^2
Campo total:
E = E-q + E2q = k ( -qx^2 + 2q(x - d)^2 )

Passo 9

Agora, vamos fazer um esboço dessa função. O campo elétrico varia com x conforme as expressões que encontramos para cada região. Podemos esperar que o campo mude de sinal dependendo da posição relativa das cargas e do ponto onde estamos calculando.

Passo 10

Para verificar nossa resposta, vamos testar usando limites simples e análise dimensional.
Limites:
  • Quando x to 0, próximo à carga -q, o campo deve ser dominado por -q.
  • Quando x to d, próximo à carga 2q, o campo deve ser dominado por 2q.
  • Quando x to infty, o campo deve se aproximar de zero.
Análise Dimensional:
As unidades de campo elétrico são volts por metro (V/m) ou newtons por coulomb (N/C). Nas expressões que obtivemos:
E = k qx^2
A unidade da constante k é N cdot m^2/C^2, e multiplicando por q © e dividindo por x^2 ( m^2), temos N/C, que está correto.

Resposta

O campo elétrico ao longo do eixo que une as duas cargas é dado por:
E(x) = k ( -qx^2 + 2q(d - x)^2 ) para 0 < x < d
e similarmente para outras regiões conforme detalhado nos passos anteriores. O comportamento do campo foi validado pelos limites e pela análise dimensional, confirmando a consistência da expressão encontrada.

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