Uma carga
e outra
estão fixas e distantes
uma da outra. Determine a expressão do campo elétrico ao longo do eixo que une as cargas. Faça um esboço dessa função. Teste sua resposta usando limites simples e análise dimensional.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas cargas elétricas: uma com carga
e outra com carga
, separadas por uma distância
. Nosso objetivo é encontrar a expressão do campo elétrico ao longo do eixo que une essas duas cargas. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb e a superposição de campos elétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine que temos duas cargas fixas alinhadas ao longo de um eixo, digamos, o eixo x. Colocamos a carga
na posição
e a carga
na posição
. Queremos encontrar o campo elétrico em qualquer ponto ao longo desse eixo.
Passo 3
Lembrando da Lei de Coulomb, o campo elétrico
devido a uma carga pontual
em um ponto a uma distância
dessa carga é dado por:
onde
é a constante eletrostática.
Passo 4
Como temos duas cargas, vamos usar o princípio da superposição, que diz que o campo elétrico resultante é a soma vetorial dos campos elétricos individuais. Então, em um ponto qualquer ao longo do eixo x, o campo total será a soma do campo produzido por
e pelo
.
Passo 5
Vamos chamar um ponto qualquer no eixo x de
. Precisamos considerar duas regiões: antes da carga
(
), entre as duas cargas (
) e depois da carga
(
). Vamos calcular o campo em cada uma dessas regiões.
Passo 6
Região 1:
- Distância da carga
até o ponto: - Distância da carga
até o ponto:
O campo produzido por
aponta em direção à carga (pois é negativa):
O campo produzido por
aponta para longe da carga (pois é positiva):
Então, o campo total:
Passo 7
Região 2:
- Distância da carga
até o ponto: - Distância da carga
até o ponto:
O campo produzido por
aponta em direção à carga:
O campo produzido por
aponta para longe da carga:
Campo total:
Passo 8
Região 3:
- Distância da carga
até o ponto: - Distância da carga
até o ponto:
O campo produzido por
aponta em direção à carga:
O campo produzido por
aponta para longe da carga:
Campo total:
Passo 9
Agora, vamos fazer um esboço dessa função. O campo elétrico varia com
conforme as expressões que encontramos para cada região. Podemos esperar que o campo mude de sinal dependendo da posição relativa das cargas e do ponto onde estamos calculando.
Passo 10
Para verificar nossa resposta, vamos testar usando limites simples e análise dimensional.
Limites:
- Quando
, próximo à carga , o campo deve ser dominado por . - Quando
, próximo à carga , o campo deve ser dominado por . - Quando
, o campo deve se aproximar de zero.
Análise Dimensional:
As unidades de campo elétrico são volts por metro (V/m) ou newtons por coulomb (N/C). Nas expressões que obtivemos:
A unidade da constante
é
, e multiplicando por
© e dividindo por
(
), temos
, que está correto.
Resposta
O campo elétrico ao longo do eixo que une as duas cargas é dado por:
e similarmente para outras regiões conforme detalhado nos passos anteriores. O comportamento do campo foi validado pelos limites e pela análise dimensional, confirmando a consistência da expressão encontrada.