Dois blocos, A(2 kg) e B(5 kg), movem-se em sentidos opostos em uma superfície sem atrito. O bloco A se move a 8 m / s para a direita e o bloco B se move a 3 m / s para a esquerda. Eles colidem frontalmente e elasticamente.
Quais são as velocidades dos blocos A e B após a colisão?

Passo 1

Vamos lá! Temos dois blocos, A e B, com massas de 2 kg e 5 kg, respectivamente. Eles estão se movendo em direções opostas numa superfície sem atrito: o bloco A vai a 8 m/s para a direita e o bloco B a 3 m/s para a esquerda. Quando esses blocos colidem de forma frontal e elástica, queremos descobrir as velocidades de cada um após a colisão. Para resolver isso, vamos usar as leis da conservação da quantidade de movimento e da conservação da energia cinética, que são fundamentais para entender colisões elásticas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a conservação da quantidade de movimento. Essa lei diz que, em um sistema isolado (sem forças externas), a quantidade de movimento total antes da colisão é igual à quantidade de movimento total depois da colisão. A fórmula para a quantidade de movimento ( p = m times v ) é:
pantes = mA times vA + mB times vB = 2 times 8 + 5 times (-3) = 16 - 15 = 1 , kgcdotm/s
Onde:
  • é a massa
  • é a velocidade
Então, a quantidade de movimento total antes da colisão é:
Note que consideramos a direção para a direita como positiva e para a esquerda como negativa.

Passo 3

Agora, vamos usar a conservação da energia cinética. Em colisões elásticas, a energia cinética total também é preservada. A energia cinética ( E = 12 m v^2 ) é dada por:
Eantes = 12 times 2 times 8^2 + 12 times 5 times 3^2 = 12 times 2 times 64 + 12 times 5 times 9 = 64 + 22,5 = 86,5 , J
Calculando a energia cinética total antes da colisão:

Passo 4

Vamos chamar as velocidades dos blocos após a colisão de mA vA + mB vB = mA vA' + mB vB' e 2 times 8 + 5 times (-3) = 2 vA' + 5 vB' . Temos então duas equações com essas duas incógnitas:
  1. Conservação da quantidade de movimento:
16 - 15 = 2 vA' + 5 vB'
Substituindo os valores:
1 = 2 vA' + 5 vB'
12 mA vA^2 + 12 mB vB^2 = 12 mA vA'^2 + 12 mB vB'^2
12 times 2 times 8^2 + 12 times 5 times 3^2 = 12 times 2 times vA'^2 + 12 times 5 times vB'^2
  1. Conservação da energia cinética:
64 + 22,5 = vA'^2 + 2,5 vB'^2
Substituindo os valores:
86,5 = vA'^2 + 2,5 vB'^2

Passo 5

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
2 vA' + 5 vB' = 1 vA'^2 + 2,5 vB'^2 = 86,5
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 6

Primeiro, resolvemos a primeira equação para 2 vA' = 1 - 5 vB' :
vA' = 1 - 5 vB'2

Passo 7

Substituímos ( 1 - 5 vB'2 )^2 + 2,5 vB'^2 = 86,5 na segunda equação:
(1 - 5 vB')^24 + 2,5 vB'^2 = 86,5
Expandindo o quadrado:
1 - 10 vB' + 25 vB'^24 + 2,5 vB'^2 = 86,5
1 - 10 vB' + 25 vB'^2 + 10 vB'^2 = 346
Multiplicando toda a equação por 4 para eliminar o denominador:
35 vB'^2 - 10 vB' + 1 = 346
35 vB'^2 - 10 vB' - 345 = 0

Passo 8

Agora, resolvemos a equação quadrática:
35 vB'^2 - 10 vB' - 345 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 5:
7 vB'^2 - 2 vB' - 69 = 0
Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver:
vB' = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 times 7 times (-69)2 times 7
vB' = 2 pm raiz4 + 193214
vB' = 2 pm raiz193614
vB' = 2 pm 4414
Isso nos dá duas soluções:
  1. vB' = 4614 approx 3,29 , m/s
  2. vB' = -4214 = -3 , m/s

Passo 9

Analisando as soluções:
  • : Isso significaria que o bloco B estaria se movendo para a direita após a colisão, o que não faz sentido já que ele estava se movendo para a esquerda inicialmente e a colisão é frontal e elástica.
  • : Esse valor indica que o bloco B continua se movendo para a esquerda, mantendo a mesma velocidade.
Optamos por .

Passo 10

Agora, substituímos vA' = 1 - 5 times (-3)2 = 1 + 152 = 162 = 8 , m/s na equação que encontramos para :

Resposta

Após a colisão, o bloco A continua movendo-se a 8 m/s para a direita, e o bloco B continua movendo-se a 3 m/s para a esquerda.

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