Dois blocos,
e
, conectados por uma corda inextensível e de massa desprezível sobre uma superficie com atrito deslizaram para baixo sobre um plano inclinado. A massa da polia é desprezível.
Calcule a aceleração do sistema em função de
,
, apenas. Realize a análise dimensional, utilizando as unidades de medida.
Calcule a aceleração do sistema em função de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois blocos, $ m_1 $ e $ m_2 $, ligados por uma corda que passa por uma polia sem massa, deslizando em um plano inclinado com atrito. Nosso objetivo é calcular a aceleração do sistema usando as massas dos blocos, a gravidade $ g $, o coeficiente de atrito $ \mu $ e o ângulo do plano $ \theta $. Para resolver isso, vamos usar as Leis de Newton e analisar as forças atuantes nos blocos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as forças que agem em cada bloco. No bloco $ m_1 $, temos:
- Peso ($ m_1 g $): Puxando o bloco para baixo.
- Tensão da corda ($ T $): Puxando o bloco para cima.
No bloco $ m_2 $, que está no plano inclinado, temos:
- Peso ($ m_2 g $): Que pode ser decomposto em duas componentes:
- Paralela ao plano: $ m_2 g \sin(\theta) $
- Perpendicular ao plano: $ m_2 g \cos(\theta) $
- Força de atrito ($ f $): Que age contra o movimento, calculada por $ f = \mu N $, onde $ N $ é a força normal. Aqui, $ N = m_2 g \cos(\theta) $, então $ f = \mu m_2 g \cos(\theta) $.
- Tensão da corda ($ T $): Puxando o bloco para cima ao longo do plano.
Passo 3
Vamos aplicar a Segunda Lei de Newton para cada bloco. A Segunda Lei diz que $ F = m a $, onde $ F $ é a força resultante, $ m $ é a massa e $ a $ é a aceleração.
Para o bloco $ m_1 $:
Para o bloco $ m_2 $:
Passo 4
Agora, vamos resolver essas duas equações para encontrar $ a $. Primeiro, da equação (1), podemos expressar $ T $:
Substituindo $ T $ da equação (3) na equação (2):
Passo 5
Vamos agora juntar os termos que contêm $ a $ e os que não contêm:
Fatorando $ a $ do lado direito:
Passo 6
Para encontrar $ a $, basta dividir ambos os lados pela soma das massas $ (m_1 + m_2) $:
Podemos fatorar $ g $ no numerador:
Passo 7
Pronto, chegamos à expressão da aceleração $ a $ do sistema em função das massas $ m_1 $, $ m_2 $, da gravidade $ g $, do coeficiente de atrito $ \mu $ e do ângulo $ \theta $.
Agora, vamos fazer a análise dimensional para garantir que nossa fórmula está correta em termos de unidades.
Passo 8
Na análise dimensional, verificamos se as unidades de ambos os lados da equação são iguais.
A unidade da aceleração $ a $ é $ m/s^2 $.
No lado direito:
- $ g $ tem unidade $ m/s^2 $.
- Os termos dentro da fração são combinações de massas e funções trigonométricas (que são adimensionais).
- A fração $ \frac{m_1 - m_2 \sin(\theta) - \mu m_2 \cos(\theta)}{m_1 + m_2} $ é adimensional, pois é uma combinação de massas dividida por massas.
Multiplicando $ g $ por uma quantidade adimensional mantém a unidade de $ m/s^2 $, que coincide com o lado esquerdo. Portanto, a análise dimensional está correta.
Resposta
A aceleração do sistema é dada por: