4.5 Dois caixotes, de massa 350 kg cada, são colocados na caçamba de uma caminhonete de 1.400 kg . Determine as reações em cada uma das duas ( a ) rodas traseiras A, ( b ) rodas dianteiras B.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar as reações em cada uma das rodas traseiras A (são duas rodas traseiras, pede-se a reação em cada uma delas).
  • Determinar as reações em cada uma das rodas dianteiras B (são duas rodas dianteiras, pede-se a reação em cada uma delas).
Informações dadas (peguei estes números da imagem):
  • Massa da carroceria (da caminhonete): m_{\text{caminhonete}}=1400\\ \text{kg}.
  • Dois caixotes, cada um de massa m_{\text{caixote}}=350\\ \text{kg}.
  • Distância do eixo traseiro A até a linha vertical de referência (centro de massa da carroceria mostrada pela linha pontilhada): 1,8\\ \text{m} (ou seja, o eixo traseiro está a 1,8\\ \text{m} à esquerda dessa linha).
  • Distância do eixo dianteiro B até a mesma linha de referência: 1,2\\ \text{m} (ou seja, o eixo dianteiro está a 1,2\\ \text{m} à direita dessa linha).
  • Posições dos caixotes (peguei estas distâncias em relação à mesma linha de referência): um caixote em x_C=-1,7\\ \text{m} (à esquerda da linha) e o outro em x_D=+2,8\\ \text{m} (à direita da linha). A linha de referência é a linha vertical pontilhada mostrada na figura.
  • Aceleração da gravidade: vou usar g=9{,}81\\ \text{m/s}^2.
Observação sobre como vamos representar as reações:
  • Vou primeiro determinar a reação total na suspensão traseira (somatório das duas rodas traseiras), denotada por R_A.
  • E a reação total na suspensão dianteira (somatório das duas rodas dianteiras), denotada por R_B.
  • Depois dividimos por 2 para obter a reação em cada roda (pois o enunciado pede a reação em cada uma das duas rodas traseiras e em cada uma das duas rodas dianteiras).

Passo 2

Princípios estáticos que vamos usar (lembrando do que significam):
  • Equilíbrio de forças verticais: a soma das reações verticais deve equilibrar o peso total do sistema (caminhonete + caixotes). Em fórmula:
R_A + R_B = W_{\text{total}}
onde W_{\text{total}} é o peso total e R_A e R_B são as reações totais nas suspensões traseira e dianteira, respectivamente.
  • Equilíbrio de momentos (torques): somando momentos em torno de um ponto (escolho o eixo dianteiro B para eliminar R_B da equação) obtemos uma equação que nos permite calcular R_A. Em fórmula (soma algébrica dos momentos em torno de B igual a zero):
R_A\cdot (x_A-x_B) + \sum W_i\cdot (x_i-x_B) = 0,
onde x_A e x_B são coordenadas horizontais do eixo traseiro e dianteiro (relativas à linha de referência), e x_i são as coordenadas das forças peso W_i.
Definições e valores numéricos que vou usar:
  • Coordenadas (todas medidas a partir da linha de referência mostrada na figura):
    • x_A=-1{,}8\\ \text{m}.
    • x_B=+1{,}2\\ \text{m}.
    • x_{\text{caminhonete}}=0\\ \text{m} (o peso da caminhonete atua na linha pontilhada).
    • x_C=-1{,}7\\ \text{m} (caixote 1).
    • x_D=+2{,}8\\ \text{m} (caixote 2).
  • Pesos:
    • W_{\text{caminhonete}} = m_{\text{caminhonete}}\;g = 1400\cdot 9{,}81\\ \text{N}.
    • W_C = W_D = m_{\text{caixote}}\;g = 350\cdot 9{,}81\\ \text{N}.
  • Distância entre os eixos (importante para interpretar x_A-x_B):
    • x_A-x_B = -1{,}8 - (+1{,}2) = -3{,}0\\ \text{m}. (módulo 3{,}0\\ \text{m} é a distância entre os eixos.)

Passo 3

Calcular os pesos numéricos:
W_{\text{caminhonete}} = 1400\cdot 9{,}81 = 13734{,}0\\ \text{N}.
W_C = W_D = 350\cdot 9{,}81 = 3433{,}5\\ \text{N}.
Peso total:
W_{\text{total}} = W_{\text{caminhonete}} + W_C + W_D = 13734{,}0 + 3433{,}5 + 3433{,}5 = 20601{,}0\\ \text{N}.
Pela equação de equilíbrio vertical:
R_A + R_B = 20601{,}0\\ \text{N}. \tag{1}

Passo 4

Equilíbrio de momentos em torno do ponto B (para eliminar R_B). Escrevo a soma algébrica dos momentos (tomando momentos positivos no sentido anti-horário; sinais resultam das coordenadas relativas a B):
Primeiro calculo as distâncias horizontais das forças em relação a B:
x_{\text{caminhonete}} - x_B = 0 - 1{,}2 = -1{,}2\\ \text{m},
x_C - x_B = -1{,}7 - 1{,}2 = -2{,}9\\ \text{m},
x_D - x_B = 2{,}8 - 1{,}2 = 1{,}6\\ \text{m},
x_A - x_B = -1{,}8 - 1{,}2 = -3{,}0\\ \text{m}.
Agora somo momentos em torno de B:
R_A\cdot(x_A-x_B) + W_{\text{caminhonete}}\cdot(x_{\text{caminhonete}}-x_B) + W_C\cdot(x_C-x_B) + W_D\cdot(x_D-x_B) = 0.
Substituindo valores numéricos:
R_A\cdot(-3{,}0) + 13734{,}0\cdot(-1{,}2) + 3433{,}5\cdot(-2{,}9) + 3433{,}5\cdot(1{,}6) = 0.
Calculo dos termos:
13734{,}0\cdot(-1{,}2) = -16480{,}8\\ \text{N}\cdot\text{m},
3433{,}5\cdot(-2{,}9) = -9957{,}15\\ \text{N}\cdot\text{m},
3433{,}5\cdot(1{,}6) = 5493{,}6\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Somando os termos das cargas:
-16480{,}8 + (-9957{,}15) + 5493{,}6 = -20944{,}35\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Logo a equação de momento fica:
-3{,}0\,R_A -20944{,}35 = 0.

Passo 5

Isolando R_A:
-3{,}0\,R_A = +20944{,}35 \quad\Rightarrow\quad R_A = \dfrac{20944{,}35}{3{,}0} = 6981{,}45\\ \text{N}.
Esse é o valor da reação total nas duas rodas traseiras (soma das reações das duas rodas traseiras).
Agora usamos (1) para obter R_B:
R_B = W_{\text{total}} - R_A = 20601{,}0 - 6981{,}45 = 13619{,}55\\ \text{N}.

Passo 6

Reação em cada roda (dividindo as reações totais por 2, já que cada eixo tem duas rodas que, no problema, compartilham igualmente a carga):
\text{Reação em cada roda traseira }A_{\text{cada}} = \dfrac{R_A}{2} = \dfrac{6981{,}45}{2} = 3490{,}725\\ \text{N} \approx 3491\\ \text{N}.çã
\text{Reação em cada roda dianteira }B_{\text{cada}} = \dfrac{R_B}{2} = \dfrac{13619{,}55}{2} = 6809{,}775\\ \text{N} \approx 6810\\ \text{N}.çã
Pequena verificação (soma das reações das quatro rodas):
2\cdot 3490{,}725 + 2\cdot 6809{,}775 = 6981{,}45 + 13619{,}55 = 20601{,}0\\ \text{N},
que coincide com o peso total, ok.

Resposta

Reação em cada roda traseira A: 3491\\ \text{N}
Reação em cada roda dianteira B: 6810\\ \text{N}

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