Dois capacitores descarregados têm capacitâncias C e 2C, respectivamente, estāo comectados em série. Essa combinação em série é então conectada aos terminais de uma bateria. Qual das seguintes alternativas é verdadeira? Justifique sua resposta.
(a) O capacitor de 2 C tem o dobro da carga do outro capacitor.
(b) A tensão em cada capacitor é a mesma.
(c) A energia armazenada em cada capacitor é a mesma.
(d) A capacitância equivalente é 3C
(e) A capacitância equivalente é \frac{2}{3} C

Passo 1

O enunciado dá dois capacitores inicialmente descarregados com capacitâncias \;C\; e \;2C\;, conectados em série, e essa combinação em série é ligada aos terminais de uma bateria (tensão da bateria: \;V\;, implícita). Pergunta-se qual das alternativas (a)–(e) é verdadeira:
(a) O capacitor de 2C tem o dobro da carga do outro capacitor.
(b) A tensão em cada capacitor é a mesma.
(c) A energia armazenada em cada capacitor é a mesma.
(d) A capacitância equivalente é 3C.
(e) A capacitância equivalente é \tfrac{2}{3}C.
Informações relevantes dadas:
  • Capacitores em série: capacitâncias \;C\; e \;2C\;.
  • Ambos inicialmente descarregados antes de ligar à bateria.
  • A combinação fica conectada a uma bateria (há uma tensão total \;V\; aplicada à série).
  • Preciso indicar qual alternativa é verdadeira e justificar.

Passo 2

Regra importante para capacitores em série (explicação didática): quando dois capacitores estão em série a mesma carga elétrica Q aparece nas placas que ficam em sequência. Por quê? Imagine os dois capacitores ligados em linha: a placa entre eles forma um par de placas opostas; quando a bateria empurra cargas, uma placa adquirirá carga +Q e a placa adjacente do outro capacitor terá -Q, de modo que as cargas que ficam nas placas internas são iguais em módulo e opostas. Portanto, em série os módulos das cargas nos capacitores são iguais. Em notação: a carga em cada capacitor será a mesma \;Q\;.

Passo 3

Expressar as tensões nos capacitores em função de Q e das capacitâncias (fórmula fundamental): a relação entre carga, capacitância e tensão é
Q = C\,V_{\text{cap}}
ou equivalentemente
V_{\text{cap}} = \frac{Q}{C}.
Aplicando aos dois capacitores temos as tensões individuais:
V_1 = \frac{Q}{C}\quad\text{(capacitor de capacitância \(\;C\;\))},â
V_2 = \frac{Q}{2C}\quad\text{(capacitor de capacitância \(\;2C\;\))}.â

Passo 4

Soma das tensões = tensão da bateria (Lei de Kirchhoff / conservação de energia): a tensão total \;V\; da bateria se distribui entre os dois capacitores:
V = V_1 + V_2 = \frac{Q}{C} + \frac{Q}{2C}.
Fatorando Q e somando frações:
V = Q\!\left(\frac{1}{C} + \frac{1}{2C}\right) = Q\!\left(\frac{3}{2C}\right).
Isolando Q em termos de V:
Q = V \cdot \frac{2C}{3}.

Passo 5

Definição de capacitância equivalente \;C_{\text{eq}}\; para a série: por definição da capacitância equivalente, a carga total Q também satisfaz Q = C_{\text{eq}}\,V. Comparando com o resultado do passo anterior obtemos
C_{\text{eq}} = \frac{2C}{3} = \frac{2}{3}\,C.
Isso confirma a expressão de \;C_{\text{eq}}\;. Também podemos obter isso pela fórmula padrão de capacitores em série:
\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{C}+\frac{1}{2C}=\frac{3}{2C}\quad\Rightarrow\quad C_{\text{eq}}=\frac{2C}{3}.

Passo 6

Verificação das alternativas com base nos cálculos:
  • Sobre (a): “O capacitor de 2C tem o dobro da carga do outro capacitor.” Nós vimos no Passo 2 que, em série, as cargas são iguais: ambos têm Q. Logo (a) é falsa.

Passo 7

Tensões relativas (para checar (b)): usamos V_1=\dfrac{Q}{C} e V_2=\dfrac{Q}{2C}. Comparando:
V_1 = 2\cdot V_2.
Portanto as tensões não são iguais, o capacitor menor ( C) tem duas vezes a tensão do capacitor 2C. Logo (b) é falsa.

Passo 8

Energias armazenadas (para checar (c)): fórmula da energia num capacitor em função da carga é
U=\frac{Q^2}{2C}.
Para cada capacitor:
U_1=\frac{Q^2}{2C}\quad\text{(capacitor \(C\))},
U_2=\frac{Q^2}{2\cdot(2C)}=\frac{Q^2}{4C}\quad\text{(capacitor \(2C\))}.
Comparando:
U_1 = 2\,U_2.
Logo as energias não são iguais; (c) é falsa.

Passo 9

Sobre (d): "A capacitância equivalente é 3C". Já calculamos \;C_{\text{eq}}=\tfrac{2}{3}C\;; além disso, para capacitores em série a capacitância equivalente é sempre menor que a menor capacitância do conjunto, então não pode ser 3C (que é maior). Portanto (d) é falsa.

Passo 10

Conclusão: a única alternativa correta é (e), pois a capacitância equivalente calculada para dois capacitores em série com valores \;C\; e \;2C\; é
C_{\text{eq}}=\frac{2}{3}C.

Resposta

(e) \dfrac{2}{3}C

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