Dois capacitores descarregados têm capacitâncias C e 2C, respectivamente, estāo comectados em série. Essa combinação em série é então conectada aos terminais de uma bateria. Qual das seguintes alternativas é verdadeira? Justifique sua resposta.
(a) O capacitor de 2 C tem o dobro da carga do outro capacitor.
(b) A tensão em cada capacitor é a mesma.
(c) A energia armazenada em cada capacitor é a mesma.
(d) A capacitância equivalente é 3C
(e) A capacitância equivalente é
(a) O capacitor de 2 C tem o dobro da carga do outro capacitor.
(b) A tensão em cada capacitor é a mesma.
(c) A energia armazenada em cada capacitor é a mesma.
(d) A capacitância equivalente é 3C
(e) A capacitância equivalente é
Passo 1
O enunciado dá dois capacitores inicialmente descarregados com capacitâncias
e
, conectados em série, e essa combinação em série é ligada aos terminais de uma bateria (tensão da bateria:
, implícita). Pergunta-se qual das alternativas (a)–(e) é verdadeira:
(a) O capacitor de tem o dobro da carga do outro capacitor.
(b) A tensão em cada capacitor é a mesma.
(c) A energia armazenada em cada capacitor é a mesma.
(d) A capacitância equivalente é .
(e) A capacitância equivalente é .
(a) O capacitor de
(b) A tensão em cada capacitor é a mesma.
(c) A energia armazenada em cada capacitor é a mesma.
(d) A capacitância equivalente é
(e) A capacitância equivalente é
Informações relevantes dadas:
- Capacitores em série: capacitâncias
e . - Ambos inicialmente descarregados antes de ligar à bateria.
- A combinação fica conectada a uma bateria (há uma tensão total
aplicada à série). - Preciso indicar qual alternativa é verdadeira e justificar.
Passo 2
Regra importante para capacitores em série (explicação didática): quando dois capacitores estão em série a mesma carga elétrica
aparece nas placas que ficam em sequência. Por quê? Imagine os dois capacitores ligados em linha: a placa entre eles forma um par de placas opostas; quando a bateria empurra cargas, uma placa adquirirá carga
e a placa adjacente do outro capacitor terá
, de modo que as cargas que ficam nas placas internas são iguais em módulo e opostas. Portanto, em série os módulos das cargas nos capacitores são iguais. Em notação: a carga em cada capacitor será a mesma
.
Passo 3
Expressar as tensões nos capacitores em função de
e das capacitâncias (fórmula fundamental): a relação entre carga, capacitância e tensão é
ou equivalentemente
Aplicando aos dois capacitores temos as tensões individuais:
Passo 4
Soma das tensões = tensão da bateria (Lei de Kirchhoff / conservação de energia): a tensão total
da bateria se distribui entre os dois capacitores:
Fatorando
e somando frações:
Isolando
em termos de
:
Passo 5
Definição de capacitância equivalente
para a série: por definição da capacitância equivalente, a carga total
também satisfaz
. Comparando com o resultado do passo anterior obtemos
Isso confirma a expressão de
. Também podemos obter isso pela fórmula padrão de capacitores em série:
Passo 6
Verificação das alternativas com base nos cálculos:
- Sobre (a): “O capacitor de
tem o dobro da carga do outro capacitor.” Nós vimos no Passo 2 que, em série, as cargas são iguais: ambos têm . Logo (a) é falsa.
Passo 7
Tensões relativas (para checar (b)): usamos
e
. Comparando:
Portanto as tensões não são iguais, o capacitor menor (
) tem duas vezes a tensão do capacitor
. Logo (b) é falsa.
Passo 8
Energias armazenadas (para checar (c)): fórmula da energia num capacitor em função da carga é
Para cada capacitor:
Comparando:
Logo as energias não são iguais; (c) é falsa.
Passo 9
Sobre (d): "A capacitância equivalente é
". Já calculamos
; além disso, para capacitores em série a capacitância equivalente é sempre menor que a menor capacitância do conjunto, então não pode ser
(que é maior). Portanto (d) é falsa.
Passo 10
Conclusão: a única alternativa correta é (e), pois a capacitância equivalente calculada para dois capacitores em série com valores
e
é
Resposta
(e)