Considere dois capacitores com capacitâncias C_{1}=6,0 \mu \mathrm{~F} e C_{2}=12,0 \mu \mathrm{~F} conectados a uma bateria de 12,0 \mathrm{~V}. Calcule (i) a capacitância equivalente, (ii) a carga em cada capacitor e (iii) a diferença de potencial em cada capacitor quando:
(a) Os capacitores estão conectados em série
(b) Os capacitores estĩo conectados em paralelo

Passo 1

O enunciado dá os dois capacitores e a tensão da bateria e pede três coisas em cada caso (série e paralelo). Dados fornecidos:
C_{1}=6,0\,\mu\mathrm{F}, C_{2}=12,0\,\mu\mathrm{F} e V_{\text{bateria}}=12,0\,\mathrm{V}.
Perguntas a responder para cada conexão (a) série e (b) paralelo:
  1. Calcular a capacitância equivalente C_{\mathrm{eq}}.
  2. Calcular a carga em cada capacitor Q_{1} e Q_{2}.
  3. Calcular a diferença de potencial (tensão) em cada capacitor V_{1} e V_{2}.
Vou usar exatamente esses dados e responder as três perguntas para cada caso.

Passo 2

Conceitos básicos (rápido e prático, o que você precisa saber para a prova):
  • Definição útil: a capacitância relaciona carga e tensão por
Q = C\,V,
onde Q é a carga em coulombs, C a capacitância em farads e V a tensão em volts.
  • Unidade prática: 1\,\mu\mathrm{F}=1\times10^{-6}\,\mathrm{F}. Muitas contas para capacitores pequenos são convenientes em \mu\mathrm{F} e \mu\mathrm{C}, porque
Q(\mu\mathrm{C}) = C(\mu\mathrm{F})\times V(\mathrm{V}).
Isto é, se você multiplica \mu\mathrm{F} por volts obtém \mu\mathrm{C}.
  • Regras de associação:
    • Série (dois capacitores): a carga em todos os capacitores em série é a mesma ( Q_1=Q_2); a capacitância equivalente para dois capacitores é
    C_{\mathrm{eq}}=\frac{C_1 C_2}{C_1+C_2}.
    • Paralelo: a tensão em todos os capacitores em paralelo é a mesma ( V_1=V_2=V_{\text{bateria}}); a capacitância equivalente é
    C_{\mathrm{eq}}=C_1+C_2.
Esses são os pontos que vou usar passo a passo.

Passo 3

(a) Capacitores em série — capacitância equivalente.
Usamos a fórmula para dois capacitores em série:
C_{\mathrm{eq}}=\frac{C_1 C_2}{C_1+C_2}.
Substituindo C_1=6,0\,\mu\mathrm{F} e C_2=12,0\,\mu\mathrm{F}:
C_{\mathrm{eq}}=\frac{6,0\cdot12,0}{6,0+12,0}\,\mu\mathrm{F}=\frac{72,0}{18,0}\,\mu\mathrm{F}=4,0\,\mu\mathrm{F}.
Portanto a capacitância equivalente em série é 4,0\,\mu\mathrm{F}.

Passo 4

(a) Capacitores em série — carga em cada capacitor.
Em série a carga é a mesma em ambos, e pode ser obtida da capacitância equivalente pela relação Q=C_{\mathrm{eq}}V.
Usando C_{\mathrm{eq}}=4,0\,\mu\mathrm{F} e V=12,0\,\mathrm{V}:
Q = 4,0\,\mu\mathrm{F}\times12,0\,\mathrm{V}=48,0\,\mu\mathrm{C}.
Convertendo para coulombs (opcional, mas útil): 48,0\,\mu\mathrm{C}=48,0\times10^{-6}\,\mathrm{C}=4,8\times10^{-5}\,\mathrm{C}.
Logo Q_{1}=Q_{2}=48,0\,\mu\mathrm{C}.

Passo 5

(a) Capacitores em série — tensão em cada capacitor.
Agora usamos V_i=Q/C_i.
Para o capacitor 1:
V_{1}=\frac{Q}{C_{1}}=\frac{48,0\,\mu\mathrm{C}}{6,0\,\mu\mathrm{F}}=\frac{48,0}{6,0}\,\mathrm{V}=8,0\,\mathrm{V}.
Para o capacitor 2:
V_{2}=\frac{Q}{C_{2}}=\frac{48,0\,\mu\mathrm{C}}{12,0\,\mu\mathrm{F}}=\frac{48,0}{12,0}\,\mathrm{V}=4,0\,\mathrm{V}.
Verificação rápida (boa prática): V_{1}+V_{2}=8,0+4,0=12,0\,\mathrm{V}, que é a tensão da bateria — está consistente.

Passo 6

(b) Capacitores em paralelo — capacitância equivalente.
Em paralelo as capacitâncias somam:
C_{\mathrm{eq}}=C_1+C_2=6,0\,\mu\mathrm{F}+12,0\,\mu\mathrm{F}=18,0\,\mu\mathrm{F}.
Portanto C_{\mathrm{eq}}=18,0\,\mu\mathrm{F}.

Passo 7

(b) Capacitores em paralelo — carga em cada capacitor e tensões.
Em paralelo a tensão em cada capacitor é a tensão da bateria:
V_{1}=V_{2}=12,0\,\mathrm{V}.
Usando Q=C\,V:
Para C_{1}:
Q_{1}=C_{1}V=6,0\,\mu\mathrm{F}\times12,0\,\mathrm{V}=72,0\,\mu\mathrm{C}.
Para C_{2}:
Q_{2}=C_{2}V=12,0\,\mu\mathrm{F}\times12,0\,\mathrm{V}=144,0\,\mu\mathrm{C}.
Verificação: carga total Q_{\text{total}}=Q_{1}+Q_{2}=72,0+144,0=216,0\,\mu\mathrm{C}. Também C_{\mathrm{eq}}V=18,0\,\mu\mathrm{F}\times12,0\,\mathrm{V}=216,0\,\mu\mathrm{C}, consistente.

Passo 8

Resumo e dicas rápidas para a prova (motivacional e prático):
  • Em série: use a fórmula do inverso ou a fórmula direta para dois capacitores; lembre que a carga é igual em todos e a tensão se divide.
  • Em paralelo: some as capacitâncias; lembre que a tensão é a mesma em todos e a carga se divide proporcionalmente às capacitâncias.
  • Sempre faça a verificação final: soma das tensões em série = tensão da bateria; soma das cargas em paralelo = carga total fornecida pela bateria. Isso pega muitos erros bobos.
    Força aí — você já tem todos os passos para repetir isso rapidinho na prova.

Resposta

(a) Série: C_{\mathrm{eq}}=4,0\,\mu\mathrm{F}; Q_{1}=Q_{2}=48,0\,\mu\mathrm{C} (= 4,8\times10^{-5}\,\mathrm{C}); V_{1}=8,0\,\mathrm{V},\;V_{2}=4,0\,\mathrm{V}.
(b) Paralelo: C_{\mathrm{eq}}=18,0\,\mu\mathrm{F}; Q_{1}=72,0\,\mu\mathrm{C},\;Q_{2}=144,0\,\mu\mathrm{C} (respectivamente 7,2\times10^{-5}\,\mathrm{C} e 1,44\times10^{-4}\,\mathrm{C}); V_{1}=V_{2}=12,0\,\mathrm{V}.

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