Dois capitais foram investidos a juros simples em uma mesma data: um, no valor de \mathrm{R} \ 6.250,00 , foi aplicado à taxa deà2 % a.m. e outro, no valor de\mathrm{R} $6.000,00 , à taxa deà2,5 %$ a.m. Os montantes produzidos por esses capitais serão iguais ao completar-se um período de:
(a) 1 ano e 3 meses
(b) 1 ano
(c) 10 meses
(d) 8 meses
(e) 6 meses

Passo 1

O enunciado pergunta em quanto tempo, a partir do mesmo instante de aplicação, os montantes produzidos por dois capitais aplicados a juros simples serão iguais.
Dados fornecidos (peguei os valores diretamente do enunciado):
  • Primeiro capital: \mathrm{R}\$\,6.250{,}00.
  • Taxa do primeiro capital: 2\% a.m. (ou seja, 0,02 por mês).
  • Segundo capital: \mathrm{R}\$\,6.000{,}00.
  • Taxa do segundo capital: 2{,}5\% a.m. (ou seja, 0,025 por mês).
  • Pergunta: determinar o período t (em meses) para que os montantes sejam iguais, e escolher a alternativa correta dentre: (a) 1 ano e 3 meses, (b) 1 ano, (c) 10 meses, (d) 8 meses, (e) 6 meses.

Passo 2

Lembrete (fórmula de juros simples) — o montante M de um capital C aplicado a juros simples é dado por
M = C\,(1 + r\,t),
onde:
  • M é o montante (valor final),
  • C é o capital inicial,
  • r é a taxa de juros por unidade de tempo (em decimal),
  • t é o tempo no mesmo número de unidades usado em r.
Explicando de boa: a expressão r\,t representa a fração total de juros acumulada no período; multiplicando por C obtemos os juros absolutos, e somando C temos o montante.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos dois capitais (usando meses como unidade de tempo, pois as taxas são a.m.):
Montante do primeiro capital:
M_1 = 6250\,(1 + 0,02\,t).
Montante do segundo capital:
M_2 = 6000\,(1 + 0,025\,t).
Queremos o tempo t tal que M_1 = M_2.

Passo 4

Igualando os montantes e desenvolvendo a equação:
6250\,(1 + 0,02\,t) = 6000\,(1 + 0,025\,t).
Primeiro, expandimos ambos os lados:
6250 + 6250\cdot 0,02\,t = 6000 + 6000\cdot 0,025\,t.
Calculemos os coeficientes (faço as contas passo a passo):
6250\cdot 0,02 = 125,
6000\cdot 0,025 = 150.
Substituindo:
6250 + 125\,t = 6000 + 150\,t.

Passo 5

Isolamos t. Primeiro subtraímos 6000 dos dois lados e subtraímos 125\,t dos dois lados:
6250-6000 = 150\,t - 125\,t.
Isso dá
250 = 25\,t.
Portanto
t = \frac{250}{25} = 10.

Passo 6

Interpretação: t=10 está em meses (pois usamos taxas mensais). Ou seja, os montantes serão iguais após 10 meses. Vamos checar substituindo em ambos os montantes para confirmar rapidamente:
Para t=10:
M_1 = 6250\,(1 + 0,02\cdot 10) = 6250\,(1 + 0,20) = 6250\cdot 1{,}20 = 7500.
M_2 = 6000\,(1 + 0,025\cdot 10) = 6000\,(1 + 0{,}25) = 6000\cdot 1{,}25 = 7500.
Os dois dão \mathrm{R}\$\,7.500{,}00, portanto a solução está correta.

Resposta

10 meses (alternativa (c))

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