Dois capitais foram investidos a juros simples em uma mesma data: um, no valor de
6.250,00
2 %
\mathrm{R} $6.000,00
2,5 %$ a.m. Os montantes produzidos por esses capitais serão iguais ao completar-se um período de:
(a) 1 ano e 3 meses
(b) 1 ano
(c) 10 meses
(d) 8 meses
(e) 6 meses
(a) 1 ano e 3 meses
(b) 1 ano
(c) 10 meses
(d) 8 meses
(e) 6 meses
Passo 1
O enunciado pergunta em quanto tempo, a partir do mesmo instante de aplicação, os montantes produzidos por dois capitais aplicados a juros simples serão iguais.
Dados fornecidos (peguei os valores diretamente do enunciado):
Dados fornecidos (peguei os valores diretamente do enunciado):
- Primeiro capital:
. - Taxa do primeiro capital:
a.m. (ou seja, por mês). - Segundo capital:
. - Taxa do segundo capital:
a.m. (ou seja, por mês). - Pergunta: determinar o período
(em meses) para que os montantes sejam iguais, e escolher a alternativa correta dentre: (a) ano e meses, (b) ano, (c) meses, (d) meses, (e) meses.
Passo 2
Lembrete (fórmula de juros simples) — o montante
de um capital
aplicado a juros simples é dado por
onde:
-
é o montante (valor final), -
é o capital inicial, -
é a taxa de juros por unidade de tempo (em decimal), -
é o tempo no mesmo número de unidades usado em .
Explicando de boa: a expressão
representa a fração total de juros acumulada no período; multiplicando por
obtemos os juros absolutos, e somando
temos o montante.
Passo 3
Aplicando a fórmula aos dois capitais (usando meses como unidade de tempo, pois as taxas são a.m.):
Montante do primeiro capital:
Montante do primeiro capital:
Montante do segundo capital:
Queremos o tempo
tal que
.
Passo 4
Igualando os montantes e desenvolvendo a equação:
Primeiro, expandimos ambos os lados:
Calculemos os coeficientes (faço as contas passo a passo):
Substituindo:
Passo 5
Isolamos
. Primeiro subtraímos
dos dois lados e subtraímos
dos dois lados:
Isso dá
Portanto
Passo 6
Interpretação:
está em meses (pois usamos taxas mensais). Ou seja, os montantes serão iguais após
meses. Vamos checar substituindo em ambos os montantes para confirmar rapidamente:
Para
:
Os dois dão
, portanto a solução está correta.
Resposta
10 meses (alternativa (c))