Três capitais são colocados a juros simples: o primeiro a
a.a., durante 4 anos; o segundo a
a.a., durante 3 anos e 6 meses e o terceiro a
a.a., durante 2 anos e 4 meses. Juntos renderam um juro de
27.591,80
(b)
10.070,00$
(c)
15.105,00$
(d)
20.140,00$
(e)
5.035,00$
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre o valor do terceiro capital, dadas as seguintes informações:
- Três capitais aplicados a juros simples produziram, juntos, um juro total de
. - Taxas e tempos de cada aplicação:
- Primeiro capital: taxa
a.a., tempo anos. - Segundo capital: taxa
a.a., tempo anos e meses. - Terceiro capital: taxa
a.a., tempo anos e meses.
- Primeiro capital: taxa
- Relações entre os capitais:
- O segundo capital é o dobro do primeiro.
- O terceiro é o triplo do segundo.
A pergunta é: qual é o valor do terceiro capital?
Passo 2
Vamos traduzir tempos em anos (para usar a fórmula de juros simples que usa anos) e anotar as relações entre os capitais em forma algébrica:
-
anos e meses é anos, porque meses = ano. -
anos e meses é anos. - Denotemos o primeiro capital por
. Então: -
. -
(segundo é o dobro do primeiro). -
(terceiro é o triplo do segundo, portanto seis vezes o primeiro).
-
Passo 3
Lembrete rápido sobre juros simples (mini-aula):
- Fórmula do juro simples:
- Onde
é o juro obtido, -
é o capital inicial, -
é a taxa de juros por período (no nosso caso, por ano), em forma decimal (por exemplo, vira ), -
é o tempo de aplicação no mesmo período da taxa (aqui, anos).
- Onde
- Vamos aplicar essa fórmula separadamente para cada capital, substituindo a taxa e o tempo correspondentes.
Passo 4
Calcular o juro produzido por cada capital em função de
:
- Juro do primeiro capital:
Fazendo a conta:
, logo
- Juro do segundo capital:
Calcule passo a passo:
. Então
- Juro do terceiro capital:
Calcule passo a passo:
e
. Então
Passo 5
Somar os juros individuais para igualar ao juro total dado:
Some os coeficientes:
Pelo enunciado,
. Assim temos a equação:
Passo 6
Resolver a equação para
. Para evitar trabalhar com vírgulas, multiplico ambos os lados por
(ou faço a divisão diretamente):
Fazendo a divisão: multiplicando numerador e denominador por
temos
. A divisão dá exatamente
(Verificação rápida:
.)
Passo 7
Agora calcular o terceiro capital
. Lembre que
. Então:
Portanto o valor do terceiro capital é
.