Três capitais são colocados a juros simples: o primeiro a 25 \% a.a., durante 4 anos; o segundo a 24 \% a.a., durante 3 anos e 6 meses e o terceiro a 20 \% a.a., durante 2 anos e 4 meses. Juntos renderam um juro de \ 27.591,80 . Sabendo que o segundo capital é o dobro do primeiro e que o terceiro é o triplo do segundo, o valor do terceiro capital é de: (a) \(\\) 30.310,00
(b) \ 10.070,00$
(c) \ 15.105,00$
(d) \ 20.140,00$
(e) \ 5.035,00$

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre o valor do terceiro capital, dadas as seguintes informações:
  • Três capitais aplicados a juros simples produziram, juntos, um juro total de \$27.591{,}80.
  • Taxas e tempos de cada aplicação:
    • Primeiro capital: taxa 25\% a.a., tempo 4 anos.
    • Segundo capital: taxa 24\% a.a., tempo 3 anos e 6 meses.
    • Terceiro capital: taxa 20\% a.a., tempo 2 anos e 4 meses.
  • Relações entre os capitais:
    • O segundo capital é o dobro do primeiro.
    • O terceiro é o triplo do segundo.
      A pergunta é: qual é o valor do terceiro capital?

Passo 2

Vamos traduzir tempos em anos (para usar a fórmula de juros simples que usa anos) e anotar as relações entre os capitais em forma algébrica:
  • 3 anos e 6 meses é 3{,}5 anos, porque 6 meses = 0{,}5 ano.
  • 2 anos e 4 meses é 2+\dfrac{4}{12}=2+\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{3} anos.
  • Denotemos o primeiro capital por C. Então:
    • C_1 = C.
    • C_2 = 2C (segundo é o dobro do primeiro).
    • C_3 = 3C_2 = 3\cdot(2C)=6C (terceiro é o triplo do segundo, portanto seis vezes o primeiro).

Passo 3

Lembrete rápido sobre juros simples (mini-aula):
  • Fórmula do juro simples: J = C \cdot i \cdot t
    • Onde J é o juro obtido,
    • C é o capital inicial,
    • i é a taxa de juros por período (no nosso caso, por ano), em forma decimal (por exemplo, 25\% vira 0{,}25),
    • t é o tempo de aplicação no mesmo período da taxa (aqui, anos).
  • Vamos aplicar essa fórmula separadamente para cada capital, substituindo a taxa e o tempo correspondentes.

Passo 4

Calcular o juro produzido por cada capital em função de C:
  1. Juro do primeiro capital:
J_1 = C_1 \cdot i_1 \cdot t_1 = C \cdot 0{,}25 \cdot 4.
Fazendo a conta: 0{,}25\cdot 4 = 1, logo
J_1 = C.
  1. Juro do segundo capital:
J_2 = C_2 \cdot i_2 \cdot t_2 = 2C \cdot 0{,}24 \cdot 3{,}5.
Calcule passo a passo: 0{,}24\cdot 3{,}5 = 0{,}84. Então
J_2 = 2C \cdot 0{,}84 = 1{,}68\,C.
  1. Juro do terceiro capital:
J_3 = C_3 \cdot i_3 \cdot t_3 = 6C \cdot 0{,}20 \cdot \frac{7}{3}.
Calcule passo a passo: 6\cdot \frac{7}{3}=14 e 14\cdot 0{,}20 = 2{,}8. Então
J_3 = 2{,}8\,C.

Passo 5

Somar os juros individuais para igualar ao juro total dado:
J_{\text{total}} = J_1 + J_2 + J_3 = C + 1{,}68\,C + 2{,}8\,C.
Some os coeficientes:
C + 1{,}68\,C + 2{,}8\,C = 5{,}48\,C.
Pelo enunciado, J_{\text{total}} = \$27.591{,}80. Assim temos a equação:
5{,}48\,C = 27.591{,}80.

Passo 6

Resolver a equação para C. Para evitar trabalhar com vírgulas, multiplico ambos os lados por 100 (ou faço a divisão diretamente):
C = \frac{27.591{,}80}{5{,}48}.
Fazendo a divisão: multiplicando numerador e denominador por 100 temos \dfrac{2.759.180}{548}. A divisão dá exatamente
C = 5.035{,}00.
(Verificação rápida: 5{,}48\times 5.035{,}00 = 27.591{,}80.)

Passo 7

Agora calcular o terceiro capital C_3. Lembre que C_3 = 6C. Então:
C_3 = 6\cdot 5.035{,}00 = 30.210{,}00.
Portanto o valor do terceiro capital é \$30.210{,}00.

Resposta

\$30.210{,}00

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