Dois carros se movem segundo os seguintes vetores posição:
sigma1(t)=(1+t, 2+3 t) e sigma2(t)=(1-t, 3+t^2), com t >= 0
Em que ponto a velocidade escalar do segundo carro é mínima e qual é esta velocidade?

Passo 1

O enunciado dá a curva do segundo carro
sigma2(t)=(1-t,;3+t^2) com t>=0
e pede o ponto em que a velocidade escalar (magnitude da velocidade) é mínima e qual é esse valor. Vamos usar que a velocidade escalar é |sigma2'(t)|.

Passo 2

Derivamos componente a componente para obter o vetor velocidade
sigma2'(t) = l(-1,;2tr)

Passo 3

A velocidade escalar s(t) é a norma de sigma2'(t):
s(t) = raiz(-1)^2 + (2t)^2 = raiz1 + 4t^2

Passo 4

Para t>=0, a função tmapstoraiz1+4t^2 é crescente, pois
s'(t) = 4traiz1+4t^2>=0
Logo o mínimo ocorre em t=0.

Passo 5

No instante t=0, o ponto é
sigma2(0) = (1-0,;3+0) = (1,3)
e a velocidade escalar mínima é
s(0) = raiz1+4cdot0^2 = 1

Resposta

O ponto é (1,3) e a velocidade mínima vale 1.

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