Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por
sigma(t)=(t-sin (t), 1-cos (t)), 0 <= t <= 2 pi
Calcule o espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo [t0, t1].

Passo 1

O enunciado dá a trajetória paramétrica de uma partícula
sigma(t) = l(t - sin(t),,1 - cos(t)r), 0 <= t <= 2pi,
e pede o espaço percorrido entre t0 e t1.
Conteúdo: comprimento de arco de curva paramétrica. Precisamos usar a fórmula
S = integralt0^t1 llVert sigma'(t)rrVert ,dt

Passo 2

Calculamos a derivada de sigma:
sigma'(t) = l(1 - cos(t),,sin(t)r)
Em seguida, o módulo dessa velocidade:
llVert sigma'(t)rrVert = raiz(1-cos t)^2 + (sin t)^2 = raiz1 -2cos t + cos^2 t + sin^2 t = raiz2 - 2cos t

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica 1 - cos t = 2sin^2(t/2) para simplificar:
llVert sigma'(t)rrVert = raiz2cdot 2sin^2!l(tfrac t2r) =2l|sin!l(tfrac t2r)r|
Como 0<= t<=2pi implica sin(t/2)>=0, temos
llVert sigma'(t)rrVert = 2sin!l(tfrac t2r)
Logo o espaço percorrido é
S = integralt0^t12sin!l(tfrac t2r),dt

Passo 4

Basta encontrar uma primitiva de 2sin(t/2). Sabemos que
integral sin!l(tfrac t2r),dt = -2cos!l(tfrac t2r)+C,
portanto
integral 2sin!l(tfrac t2r),dt = -4cos!l(tfrac t2r)+C
Avaliando de t0 a t1 resulta
S = l[-4cos!l(tfrac t2r)r]t0^t1 = -4cos!l(tfract12r) +4cos!l(tfract02r)

Resposta

S = 4l(cos!l(tfract02r) - cos!l(tfract12r)r)

Exercícios relacionados