Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por
Calcule o espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo
.
Calcule o espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo
Passo 1
O enunciado dá a trajetória paramétrica de uma partícula
e pede o espaço percorrido entre
e
.
Conteúdo: comprimento de arco de curva paramétrica. Precisamos usar a fórmula
Conteúdo: comprimento de arco de curva paramétrica. Precisamos usar a fórmula
Passo 2
Calculamos a derivada de
sigma :
Em seguida, o módulo dessa velocidade:
Passo 3
Usamos a identidade trigonométrica
1 - cos t = 2sin^2(t/2) para simplificar:
Como
0<= t<=2pi implica
sin(t/2)>=0 , temos
Logo o espaço percorrido é
Passo 4
Basta encontrar uma primitiva de
2sin(t/2) . Sabemos que
portanto
Avaliando de
t0 a
t1 resulta