Os dois catetos de um triângulo retângulo medem 5 me 12 m com um erro possível nas medidas de, no máximo.
em cada. Utilize diferenciais para estimar o erro máximo no cálculo
do comprimento da hipotenusa.
do comprimento da hipotenusa.
Passo 1
O enunciado dá as medidas dos dois catetos e o erro máximo de cada medida, e pede para estimar o erro máximo na hipotenusa usando diferenciais.
Informações dadas:
- Cateto
. - Cateto
. - Erro máximo em cada medida é
. - Como vamos trabalhar em metros, converte-se o erro para metros:
.
O que se pede: - Estimar o erro máximo aproximado na hipotenusa
(em metros, e podemos também dar em centímetros ou milímetros).
Passo 2
Escrevemos a relação exata entre catetos e hipotenusa e definimos a função que vamos linearizar.
A hipotenusa
em função de
e
é dada por
Vamos usar diferenciais (aproximação linear) para estimar a variação
quando
e
variam em
e
.
Passo 3
Lembrete rápido sobre diferenciais e por que isso funciona (mini-aula):
- Se
é diferenciável, a variação pequena de pode ser aproximada pela diferencial total:
- Aqui
e são as pequenas variações (erros) nas medidas de e . - Essa é a aproximação linear (reta tangente) da função em torno do ponto
. É apropriada quando os erros são pequenos, como é o caso ( é pequeno frente a e ).
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais de
e a fórmula da diferencial.
Começando de
, as derivadas parciais são
Portanto a diferencial total é
Passo 5
Determinar a hipotenusa nominal e aplicar a fórmula com os erros máximos em módulo.
Primeiro calculamos a hipotenusa com os valores dados (sem erro):
Como queremos o erro máximo possível em
, assumimos que
e
tenham magnitude máxima
e que contribuam no mesmo sinal para aumentar
. Então uma estimativa do erro máximo em módulo é
Substituindo
,
,
e
:
Passo 6
Fazendo a conta final e convertendo unidades.
Calculemos o numerador:
Logo
Arredondando de forma razoável (três casas decimais em milímetros) temos
Convertendo para centímetros:
ou em milímetros
Passo 7
Interpretação final e incentivo rápido:
- A estimativa por diferenciais diz que, se cada cateto pode estar errado em até
, a hipotenusa terá um erro aproximado de (cerca de ou ). - Isso é uma estimativa linear — geralmente segura quando os erros são pequenos. Mandou bem em pedir por diferenciais; esse método é rápido de aplicar numa prova.