Os dois catetos de um triângulo retângulo medem 5 me 12 m com um erro possível nas medidas de, no máximo. 0,2 \mathrm{~cm} em cada. Utilize diferenciais para estimar o erro máximo no cálculo
do comprimento da hipotenusa.

Passo 1

O enunciado dá as medidas dos dois catetos e o erro máximo de cada medida, e pede para estimar o erro máximo na hipotenusa usando diferenciais.
Informações dadas:
  • Cateto a=5\\ \mathrm{m}.
  • Cateto b=12\\ \mathrm{m}.
  • Erro máximo em cada medida é 0,2\\ \mathrm{cm}.
  • Como vamos trabalhar em metros, converte-se o erro para metros: 0,2\\ \mathrm{cm}=0,002\\ \mathrm{m}.
    O que se pede:
  • Estimar o erro máximo aproximado na hipotenusa c (em metros, e podemos também dar em centímetros ou milímetros).

Passo 2

Escrevemos a relação exata entre catetos e hipotenusa e definimos a função que vamos linearizar.
A hipotenusa c em função de a e b é dada por
c = \sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Vamos usar diferenciais (aproximação linear) para estimar a variação \mathrm{d}c quando a e b variam em \mathrm{d}a e \mathrm{d}b.

Passo 3

Lembrete rápido sobre diferenciais e por que isso funciona (mini-aula):
  • Se c=f(a,b) é diferenciável, a variação pequena de c pode ser aproximada pela diferencial total:
\mathrm{d}c \approx \frac{\partial f}{\partial a}\,\mathrm{d}a + \frac{\partial f}{\partial b}\,\mathrm{d}b.
  • Aqui \mathrm{d}a e \mathrm{d}b são as pequenas variações (erros) nas medidas de a e b.
  • Essa é a aproximação linear (reta tangente) da função em torno do ponto (a,b). É apropriada quando os erros são pequenos, como é o caso ( 0,002\\ \mathrm{m} é pequeno frente a 5 e 12).

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de c e a fórmula da diferencial.
Começando de c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=(a^{2}+b^{2})^{1/2}, as derivadas parciais são
\frac{\partial c}{\partial a}=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2})^{-1/2}\cdot 2a=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},
\frac{\partial c}{\partial b}=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Portanto a diferencial total é
\mathrm{d}c \approx \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\,\mathrm{d}a + \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\,\mathrm{d}b.

Passo 5

Determinar a hipotenusa nominal e aplicar a fórmula com os erros máximos em módulo.
Primeiro calculamos a hipotenusa com os valores dados (sem erro):
c_{0}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\\ \mathrm{m}.
Como queremos o erro máximo possível em c, assumimos que \mathrm{d}a e \mathrm{d}b tenham magnitude máxima 0,002\\ \mathrm{m} e que contribuam no mesmo sinal para aumentar |\mathrm{d}c|. Então uma estimativa do erro máximo em módulo é
|\mathrm{d}c|_{\max}\approx \frac{|a|\,|\mathrm{d}a|+|b|\,|\mathrm{d}b|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Substituindo a=5, b=12, |\mathrm{d}a|=|\mathrm{d}b|=0,002 e \sqrt{a^{2}+b^{2}}=13:
|\mathrm{d}c|_{\max}\approx \frac{5\cdot 0,002 + 12\cdot 0,002}{13}=\frac{(5+12)\cdot 0,002}{13}=\frac{17\cdot 0,002}{13}.

Passo 6

Fazendo a conta final e convertendo unidades.
Calculemos o numerador:
17\cdot 0,002 = 0,034.
Logo
|\mathrm{d}c|_{\max}\approx \frac{0,034}{13}=0,0026153846\ldots\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma razoável (três casas decimais em milímetros) temos
|\mathrm{d}c|_{\max}\approx 0,00262\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros:
0,0026153846\\ \mathrm{m}=0,26153846\\ \mathrm{cm}\approx 0,262\\ \mathrm{cm},
ou em milímetros
0,0026153846\\ \mathrm{m}=2,6153846\\ \mathrm{mm}\approx 2,62\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Interpretação final e incentivo rápido:
  • A estimativa por diferenciais diz que, se cada cateto pode estar errado em até 0,002\\ \mathrm{m}, a hipotenusa terá um erro aproximado de 0,00262\\ \mathrm{m} (cerca de 2,62\\ \mathrm{mm} ou 0,262\\ \mathrm{cm}).
  • Isso é uma estimativa linear — geralmente segura quando os erros são pequenos. Mandou bem em pedir por diferenciais; esse método é rápido de aplicar numa prova.

Resposta

0,00262\\ \mathrm{m}
0,262\\ \mathrm{cm}

Exercícios relacionados