Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem de f.
f(x, y, z)=x^{k} y z^{m}

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x,y,z)=x^{k} y z^{m}\, e pede: determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem de f.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é \,f(x,y,z)=x^{k} y z^{m}\,.
  • k e m são constantes (parâmetros) da função.
  • A tarefa é obter todas as derivadas parciais de segunda ordem: \,f_{xx},f_{yy},f_{zz},f_{xy},f_{xz},f_{yz}\, (e, quando conveniente, mostrar as igualdades f_{xy}=f_{yx}, etc.).

Passo 2

Conceitos e regras que vou usar (explicadinhos, sem pular etapas):
  • Derivada parcial: para calcular \,\frac{\partial f}{\partial x}\, diferenciamos em relação a x mantendo y e z fixos; análogos para \partial/\partial y e \partial/\partial z.
  • Regra da potência (uma variável): se g(x)=x^{\alpha} com \alpha constante, então \,g'(x)=\alpha x^{\alpha-1}. Aqui isso vale para a parte que depende de x.
  • Regra do produto (no contexto de derivadas parciais): se h(x)=u(x)\,v onde v é uma expressão que não depende de x (é tratada como constante), então h'(x)=u'(x)\,v. Ou seja, ao derivar em relação a uma variável, tratam-se as outras como constantes.
  • Para derivadas de ordem superior, aplica-se novamente a mesma ideia: por exemplo, \,f_{xx}=\dfrac{\partial}{\partial x}\big(\dfrac{\partial f}{\partial x}\big)\,.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem, mostrando o raciocínio:
  • Derivando em relação a x: na expressão \,f=x^{k} y z^{m}\, temos y e z^{m} como constantes quando derivamos em x. Aplicando a regra da potência em x^{k}:
f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = k x^{k-1}\cdot y \cdot z^{m}.
  • Derivando em relação a y: apenas o fator y depende de y (é igual a y^1), então a derivada é 1 multiplicando os outros fatores:
f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = x^{k}\cdot z^{m}.
  • Derivando em relação a z: x^{k}y é tratado como constante; aplicar a regra da potência em z^{m}:
f_z = \frac{\partial f}{\partial z} = x^{k}\cdot y \cdot m z^{m-1} = m x^{k} y z^{m-1}.

Passo 4

Agora calculo as derivadas parciais de segunda ordem puras ( f_{xx},f_{yy},f_{zz}), aplicando as mesmas regras sobre as primeiras derivadas:
  • \,f_{xx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_x). Tomando f_x = k x^{k-1} y z^{m} e derivando em x (tratando y e z como constantes):
f_{xx} = k (k-1) x^{k-2} y z^{m}.
Expliquei: derivei x^{k-1} usando a regra da potência, obtendo (k-1)x^{k-2}, e multipliquei pelo k já presente.
  • \,f_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_y). Como f_y = x^{k} z^{m} não depende de y, a derivada em y é zero:
f_{yy} = 0.
  • \,f_{zz}=\dfrac{\partial}{\partial z}(f_z). Com f_z = m x^{k} y z^{m-1}, derivando em z:
f_{zz} = m (m-1) x^{k} y z^{m-2}.
Expliquei: derivei z^{m-1} obtendo (m-1)z^{m-2} e multipliquei pelo m que já estava fora.

Passo 5

Calculo das derivadas parciais mistas ( f_{xy},f_{xz},f_{yz}) e checagem de simetria (Clairaut):
  • f_{xy}: posso derivar f_x em relação a y ou f_y em relação a x. Faço ambos para mostrar que dão o mesmo resultado.
    A partir de f_x = k x^{k-1} y z^{m}, derivando em y (tratando x,z constantes):
    f_{xy} = k x^{k-1} z^{m}.
    A partir de f_y = x^{k} z^{m}, derivando em x:
    f_{yx} = k x^{k-1} z^{m}.
    Logo \,f_{xy}=f_{yx}=k x^{k-1} z^{m}.
  • f_{xz}: a partir de f_x = k x^{k-1} y z^{m}, derivando em z:
    f_{xz} = k x^{k-1} y \cdot m z^{m-1} = k m x^{k-1} y z^{m-1}.
    A partir de f_z = m x^{k} y z^{m-1}, derivando em x:
    f_{zx} = m k x^{k-1} y z^{m-1}.
    Logo \,f_{xz}=f_{zx}=k m x^{k-1} y z^{m-1}.
  • f_{yz}: a partir de f_y = x^{k} z^{m}, derivando em z:
    f_{yz} = x^{k} \cdot m z^{m-1} = m x^{k} z^{m-1}.
    A partir de f_z = m x^{k} y z^{m-1}, derivando em y:
    f_{zy} = m x^{k} z^{m-1}.
    Logo \,f_{yz}=f_{zy}=m x^{k} z^{m-1}.

Passo 6

Resumo final (colocando todas as derivadas de segunda ordem juntas para consulta rápida):
  • \,f_{xx}=k(k-1) x^{k-2} y z^{m}.
  • \,f_{yy}=0.
  • \,f_{zz}=m(m-1) x^{k} y z^{m-2}.
  • \,f_{xy}=f_{yx}=k x^{k-1} z^{m}.
  • \,f_{xz}=f_{zx}=k m x^{k-1} y z^{m-1}.
  • \,f_{yz}=f_{zy}=m x^{k} z^{m-1}.

Resposta

f_{xx}=k(k-1) x^{k-2} y z^{m}
f_{yy}=0
f_{zz}=m(m-1) x^{k} y z^{m-2}
f_{xy}=f_{yx}=k x^{k-1} z^{m}
f_{xz}=f_{zx}=k m x^{k-1} y z^{m-1}
f_{yz}=f_{zy}=m x^{k} z^{m-1}

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