Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. -
e são constantes (parâmetros) da função. - A tarefa é obter todas as derivadas parciais de segunda ordem:
(e, quando conveniente, mostrar as igualdades , etc.).
Passo 2
Conceitos e regras que vou usar (explicadinhos, sem pular etapas):
-
Derivada parcial: para calcular
diferenciamos em relação a mantendo e fixos; análogos para e . -
Regra da potência (uma variável): se
com constante, então . Aqui isso vale para a parte que depende de . -
Regra do produto (no contexto de derivadas parciais): se
onde é uma expressão que não depende de (é tratada como constante), então . Ou seja, ao derivar em relação a uma variável, tratam-se as outras como constantes. -
Para derivadas de ordem superior, aplica-se novamente a mesma ideia: por exemplo,
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem, mostrando o raciocínio:
- Derivando em relação a
: na expressão temos e como constantes quando derivamos em . Aplicando a regra da potência em :
- Derivando em relação a
: apenas o fator depende de (é igual a ), então a derivada é 1 multiplicando os outros fatores:
- Derivando em relação a
: é tratado como constante; aplicar a regra da potência em :
Passo 4
Agora calculo as derivadas parciais de segunda ordem puras (
), aplicando as mesmas regras sobre as primeiras derivadas:
-
. Tomando e derivando em (tratando e como constantes):
Expliquei: derivei
usando a regra da potência, obtendo
, e multipliquei pelo
já presente.
-
. Como não depende de , a derivada em é zero:
-
. Com , derivando em :
Expliquei: derivei
obtendo
e multipliquei pelo
que já estava fora.
Passo 5
Calculo das derivadas parciais mistas (
) e checagem de simetria (Clairaut):
-
: posso derivar em relação a ou em relação a . Faço ambos para mostrar que dão o mesmo resultado. A partir de, derivando em (tratando constantes): A partir de, derivando em : Logo. -
: a partir de , derivando em : A partir de, derivando em : Logo. -
: a partir de , derivando em : A partir de, derivando em : Logo.
Passo 6
Resumo final (colocando todas as derivadas de segunda ordem juntas para consulta rápida):
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