Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
Passo 1
O enunciado dá a função
em função de três variáveis e pede as derivadas parciais de primeira ordem. Dados:
-
.
O que é pedido: - Calcular
, e .
Observação importante sobre o domínio:
, porque o denominador não pode ser zero.
Passo 2
Estratégia e conceitos básicos (passo-a-passo didático):
- Definição de derivada parcial: a derivada parcial de
em relação a uma variável (por exemplo ) é a taxa de variação de quando só varia e as outras variáveis (aqui e ) são mantidas constantes. - Para facilitar as contas, reescrevemos
como produto:
Assim podemos usar regras elementares: quando diferenciamos em relação a uma variável, tratamos os fatores que não dependem dessa variável como constantes; quando um fator depende da variável, usamos a regra da cadeia. Vou aplicar isso para cada variável.
Passo 3
Cálculo de
.
Aqui
e
são tratados como constantes, então
é constante. Diferenciando
em relação a
:
Explicando: a derivada de
em relação a
é
; multiplica-se pela parte que foi considerada constante.
Passo 4
Cálculo de
.
Agora
é tratado como constante e
depende de
. Use a regra da cadeia para a função composta
com
. A derivada de
em relação a
é
e
. Logo:
Comentário intuitivo: aumentar
aumenta o denominador
, logo reduz
(por isso o sinal negativo, se
).
Passo 5
Cálculo de
.
Aqui
é constante e
depende de
. Novamente usar a regra da cadeia com
. Agora
. Assim:
Observação de sinal: a derivada em relação a
ficou positiva porque aumentar
diminui o denominador
, o que aumenta
(se
).