Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
w=\frac{x}{y-z}

Passo 1

O enunciado dá a função w em função de três variáveis e pede as derivadas parciais de primeira ordem. Dados:
  • w=\dfrac{x}{y-z}.
    O que é pedido:
  • Calcular \dfrac{\partial w}{\partial x}, \dfrac{\partial w}{\partial y} e \dfrac{\partial w}{\partial z}.
Observação importante sobre o domínio: \,y\neq z, porque o denominador não pode ser zero.

Passo 2

Estratégia e conceitos básicos (passo-a-passo didático):
  • Definição de derivada parcial: a derivada parcial de w em relação a uma variável (por exemplo x) é a taxa de variação de w quando só x varia e as outras variáveis (aqui y e z) são mantidas constantes.
  • Para facilitar as contas, reescrevemos w como produto:
w = x\,(y-z)^{-1}.
Assim podemos usar regras elementares: quando diferenciamos em relação a uma variável, tratamos os fatores que não dependem dessa variável como constantes; quando um fator depende da variável, usamos a regra da cadeia. Vou aplicar isso para cada variável.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial w}{\partial x}.
Aqui y e z são tratados como constantes, então (y-z)^{-1} é constante. Diferenciando w=x\,(y-z)^{-1} em relação a x:
\frac{\partial w}{\partial x}=1\cdot (y-z)^{-1}=\frac{1}{y-z}.
Explicando: a derivada de x em relação a x é 1; multiplica-se pela parte que foi considerada constante.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial w}{\partial y}.
Agora x é tratado como constante e (y-z)^{-1} depende de y. Use a regra da cadeia para a função composta u^{-1} com u=y-z. A derivada de u^{-1} em relação a u é -u^{-2} e \dfrac{du}{dy}=1. Logo:
\frac{\partial w}{\partial y}=x\cdot \frac{d}{dy}\big((y-z)^{-1}\big) = x\cdot\big(- (y-z)^{-2}\big)\cdot 1 = -\frac{x}{(y-z)^2}.
Comentário intuitivo: aumentar y aumenta o denominador y-z, logo reduz w (por isso o sinal negativo, se x>0).

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial w}{\partial z}.
Aqui x é constante e (y-z)^{-1} depende de z. Novamente usar a regra da cadeia com u=y-z. Agora \dfrac{du}{dz}=-1. Assim:
\frac{\partial w}{\partial z}=x\cdot \frac{d}{dz}\big((y-z)^{-1}\big) = x\cdot\big(- (y-z)^{-2}\big)\cdot(-1) = \frac{x}{(y-z)^2}.
Observação de sinal: a derivada em relação a z ficou positiva porque aumentar z diminui o denominador y-z, o que aumenta w (se x>0).

Resposta

\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{1}{y-z}
\frac{\partial w}{\partial y}=-\frac{x}{(y-z)^2}
\frac{\partial w}{\partial z}=\frac{x}{(y-z)^2}

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