Após descer a rampa com atrito (situação do item b), o bloco de massa m=m_{1}=4,0 \mathrm{~kg} atinge o ponto B com velocidade \mathrm{vB} \approx 8,08 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e colide frontalmente com outro bloco de massa \mathrm{m}_{2}=6,0 \mathrm{~kg} que está em repouso na base horizontal da rampa. A colisão é perfeitamente inelástica (ou seja, os blocos grudam).
(c) Determine a velocidade do conjunto após a colisão e a energia dissipada na colisão.

Passo 1

O enunciado diz que um bloco de massa m_{1}=4,0\\ \mathrm{kg} chega ao ponto B com velocidade v_{B}\approx 8,08\\ \mathrm{m/s} e colide frontalmente e grudando com um bloco parado de massa m_{2}=6,0\\ \mathrm{kg}. As perguntas do item (c) são: determinar a velocidade do conjunto após a colisão e a energia dissipada na colisão. Informações relevantes fornecidas:
m_{1}=4,0\\ \mathrm{kg},\qquad v_{B}=8,08\\ \mathrm{m/s},\qquad m_{2}=6,0\\ \mathrm{kg},\qquad v_{2,\text{inicial}}=0.

Passo 2

Princípio físico a usar (explicação didática): em uma colisão perfeitamente inelástica (os corpos grudam), a quantidade de movimento total do sistema é conservada no instante da colisão, porque não há forças externas impulsivas horizontais relevantes. A quantidade de movimento (momentum) de um corpo é o produto da sua massa pela sua velocidade. Portanto, antes e depois da colisão temos:
\text{momentum total antes}=\text{momentum total depois}.
Se v' é a velocidade comum após a colisão, a equação da conservação do momentum é
m_{1}v_{B}+m_{2}\cdot 0 = (m_{1}+m_{2})v'.
Aqui cada símbolo significa:
m_{1}\\ \text{e}\\ m_{2} \\ \text{= massas dos blocos},\qquad v_{B}\\ \text{= velocidade do bloco 1 antes da colisão},\qquad v'\\ \text{= velocidade comum após a colisão}.ãóã

Passo 3

Resolver a equação da conservação do momentum para v'. Partimos de
m_{1}v_{B}=(m_{1}+m_{2})v'.
Isolando v' obtemos
v'=\frac{m_{1}v_{B}}{m_{1}+m_{2}}.
Agora substituímos os números:
v'=\frac{4{,}0\cdot 8{,}08}{4{,}0+6{,}0}.
Calculando passo a passo: o numerador
4{,}0\cdot 8{,}08 = 32{,}32
e o denominador
4{,}0+6{,}0 = 10{,}0.
Portanto
v'=\frac{32{,}32}{10{,}0}=3{,}232\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com significado físico e siglas dadas (três algarismos significativos), podemos escrever v'\approx 3{,}23\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Como calcular a energia dissipada (explicação didática): em colisões inelásticas parte da energia cinética é transformada em outras formas (calor, deformação, som). A energia dissipada \Delta E é a diferença entre a energia cinética total antes da colisão e a energia cinética total após a colisão:
\Delta E = K_{\text{antes}} - K_{\text{depois}}.
A energia cinética de um corpo é dada por
K=\tfrac{1}{2} m v^{2},
onde m é a massa e v a velocidade do corpo. Antes da colisão só o bloco m_{1} tem energia cinética (o outro está em repouso).

Passo 5

Calcular as energias numéricas. Energia cinética antes:
K_{\text{antes}}=\tfrac{1}{2}m_{1}v_{B}^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 4{,}0\cdot (8{,}08)^{2}.
Primeiro calculemos (8{,}08)^{2}:
(8{,}08)^{2}=65{,}2864.
Então
K_{\text{antes}}=\tfrac{1}{2}\cdot 4{,}0\cdot 65{,}2864 = 2{,}0\cdot 65{,}2864 = 130{,}5728\\ \mathrm{J}.
Agora a energia cinética após (os dois unidos, massa total m_{1}+m_{2}=10{,}0\\ \mathrm{kg}, velocidade v'):
K_{\text{depois}}=\tfrac{1}{2}(m_{1}+m_{2})v'^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 10{,}0\cdot (3{,}232)^{2}.
Calcule (3{,}232)^{2}:
(3{,}232)^{2}=10{,}445824.
Então
K_{\text{depois}}=5{,}0\cdot 10{,}445824 = 52{,}22912\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Calcular a energia dissipada e interpretar:
\Delta E = K_{\text{antes}}-K_{\text{depois}} = 130{,}5728 - 52{,}22912 = 78{,}34368\\ \mathrm{J}.
Arredondando com três algarismos significativos (consistente com os dados), obtemos \Delta E\approx 78{,}3\\ \mathrm{J}. Interpretação curta: cerca de 78{,}3\\ \mathrm{J} de energia cinética foram convertidos em calor, som e deformação no choque — por isso a colisão é inelástica e não conserva energia cinética.

Resposta

v'\approx 3{,}23\\ \mathrm{m/s}
\Delta E\approx 78{,}3\\ \mathrm{J}

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