Dois círculos são tangentes entre si e aos lados de um ângulo dado 2 x. Conhecendo o raio R do círculo maior, calcule o raio do círculo menor.

Passo 1

Resumindo: temos um ângulo de abertura 2x e dois círculos tangentes entre si e aos dois lados desse ângulo. O maior desses círculos tem raio R e o menor raio r. Vamos usar o fato de que os centros dos círculos tangentes aos lados de um ângulo ficam sobre a bissetriz, e que, se um centro está a uma distância d do vértice ao longo da bissetriz, sua distância perpendicular a cada lado vale d\sin(x), igual ao raio do círculo.

Passo 2

Para o círculo maior de raio R, seja D_{1} a distância do vértice ao seu centro ao longo da bissetriz. Como D_{1}\sin(x)=R, temos
D_{1}=\frac{R}{\sin(x)}.

Passo 3

De modo análogo, para o círculo menor de raio r, o centro fica a uma distância
D_{2}=\frac{r}{\sin(x)}
do vértice, pois D_{2}\sin(x)=r.

Passo 4

Como os círculos são tangentes externamente, a distância entre seus centros é R+r. Pela disposição ao longo da bissetriz, essa distância também é D_{1}-D_{2}. Logo,
D_{1}-D_{2}=R+r.

Passo 5

Substituindo D_{1} e D_{2} e resolvendo para r:
\frac{R}{\sin(x)}-\frac{r}{\sin(x)}=R+r
\frac{R-r}{\sin(x)}=R+r
R-r=(R+r)\,\sin(x)
R-r=R\sin(x)+r\sin(x)
R-R\sin(x)=r+r\sin(x)
R\bigl(1-\sin(x)\bigr)=r\bigl(1+\sin(x)\bigr)
r = R\,\frac{1-\sin(x)}{1+\sin(x)}.

Resposta

r = R\,\frac{1-\sin(x)}{1+\sin(x)}.

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