Calcule o cosseno do ângulo formado por duas faces de um octaedro regular.
Passo 1
O enunciado pede o cosseno do ângulo diedro (dihedral) entre duas faces adjacentes de um octaedro regular. Vamos usar representação vetorial dessas faces e calcular o ângulo entre os vetores normais a elas.
Passo 2
Para modelar o octaedro regular no espaço, colocamos seus vértices em
(\pm1,0,0),\;(0,\pm1,0),\;(0,0,\pm1),
que formam um octaedro centrado na origem. Cada face é um triângulo equilátero cujas arestas têm comprimento \sqrt{2}.
Passo 3
Escolhemos duas faces que compartilham a aresta entre
A=(1,0,0)\quad\text{e}\quad B=(0,1,0).
A primeira face é ABC com
C=(0,0,1),
e a segunda é ABD com
D=(0,0,-1).
Passo 4
Para cada face, calculamos o vetor normal pelo produto vetorial de dois lados.
Definindo