Calcule o cosseno do ângulo formado por duas faces de um octaedro regular.

Passo 1

O enunciado pede o cosseno do ângulo diedro (dihedral) entre duas faces adjacentes de um octaedro regular. Vamos usar representação vetorial dessas faces e calcular o ângulo entre os vetores normais a elas.

Passo 2

Para modelar o octaedro regular no espaço, colocamos seus vértices em
(\pm1,0,0),\;(0,\pm1,0),\;(0,0,\pm1),
que formam um octaedro centrado na origem. Cada face é um triângulo equilátero cujas arestas têm comprimento \sqrt{2}.

Passo 3

Escolhemos duas faces que compartilham a aresta entre
A=(1,0,0)\quad\text{e}\quad B=(0,1,0).
A primeira face é ABC com
C=(0,0,1),
e a segunda é ABD com
D=(0,0,-1).

Passo 4

Para cada face, calculamos o vetor normal pelo produto vetorial de dois lados.
Definindo
\overrightarrow{AB}=B-A=(-1,1,0),
\overrightarrow{AC}=C-A=(-1,0,1),
\overrightarrow{AD}=D-A=(-1,0,-1),
os normais são
\mathbf{n}_1=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(1,1,1),
\mathbf{n}_2=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=(-1,-1,1).

Passo 5

O cosseno do ângulo entre as duas faces é o cosseno do ângulo entre \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2:
\cos\theta =\frac{\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2}{\|\mathbf{n}_1\|\;\|\mathbf{n}_2\|} =\frac{(1)(-1)+(1)(-1)+(1)(1)}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}\;\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+1^2}} =\frac{-1}{3}.

Resposta

\cos\theta = -\tfrac{1}{3}.

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