Mostre que o comprimento da mediana relativa ao vértice
do triângulo
de lados
e
é
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num triângulo
de lados
,
e
, a mediana traçada de
até o ponto médio
de
tem comprimento
O conteúdo aqui é geometria do triângulo, em particular o Teorema de Stewart (ou de Apolônio), e precisaremos aplicar esse teorema ao ceviano
.
Passo 2
Definimos
como o ponto médio de
. Então
e chamamos de
o comprimento da mediana
.
Passo 3
O Teorema de Stewart afirma que, para qualquer ceviano
em
com
e com
,
,
, vale
Passo 4
No nosso caso temos
,
e
. Substituindo em Stewart:
Passo 5
Fatorando
no lado esquerdo e dividindo ambos os lados por
, obtemos
Passo 6
Isolando
:
Portanto