Mostre que o comprimento da mediana relativa ao vértice A do triângulo A B C de lados a, b e c é
m=\frac{1}{2} \sqrt{2\left(b^{2}+c^{2}\right)-a^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num triângulo ABC de lados a=BC, b=CA e c=AB, a mediana traçada de A até o ponto médio D de BC tem comprimento
m \;=\;\frac{1}{2}\,\sqrt{2\bigl(b^{2}+c^{2}\bigr)-a^{2}}.
O conteúdo aqui é geometria do triângulo, em particular o Teorema de Stewart (ou de Apolônio), e precisaremos aplicar esse teorema ao ceviano AD.

Passo 2

Definimos D como o ponto médio de BC. Então
BD = DC = \frac{a}{2},
e chamamos de m o comprimento da mediana AD.

Passo 3

O Teorema de Stewart afirma que, para qualquer ceviano AD em ABC com
AB = c,\quad AC = b,\quad BC = a,
e com BD = p, DC = q, AD = d, vale
c^{2}\,q \;+\; b^{2}\,p \;=\; a\bigl(d^{2}+p\,q\bigr).

Passo 4

No nosso caso temos p=BD=a/2, q=DC=a/2 e d=AD=m. Substituindo em Stewart:
c^{2}\,\frac{a}{2} \;+\; b^{2}\,\frac{a}{2} \;=\; a\Bigl(m^{2} + \frac{a}{2}\cdot\frac{a}{2}\Bigr).

Passo 5

Fatorando a/2 no lado esquerdo e dividindo ambos os lados por a, obtemos
\frac{a}{2}\bigl(c^{2}+b^{2}\bigr) = a\Bigl(m^{2} + \tfrac{a^{2}}{4}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad b^{2}+c^{2} =2\Bigl(m^{2} + \tfrac{a^{2}}{4}\Bigr) =2m^{2} + \tfrac{a^{2}}{2}.

Passo 6

Isolando m^{2}:
2m^{2} = b^{2}+c^{2} - \tfrac{a^{2}}{2} \;=\;\frac{2(b^{2}+c^{2}) - a^{2}}{2} \quad\Longrightarrow\quad m^{2} = \frac{2(b^{2}+c^{2}) - a^{2}}{4}.
Portanto
m = \frac{1}{2}\,\sqrt{2\bigl(b^{2}+c^{2}\bigr)-a^{2}}.

Resposta

m=\frac{1}{2}\sqrt{2\bigl(b^{2}+c^{2}\bigr)-a^{2}}.

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