2 - Dois condutores de comprimento L são paralelos e distantes a entre si. Uma bateria com força eletromotriz \varepsilon e resistência interna r é conectada a estes dois condutores, um polo em cada condutor. Um terceiro fio condutor é apoiado sobre os outros dois perpendicularmente, fechando-se assim um circuito elétrico. Se um campo magnético \vec{B} perpendicular ao plano formado pelos fios condutores for aplicado, qual a força magnética sobre o terceiro fio ?

Passo 1

O enunciado pede: “qual a força magnética sobre o terceiro fio?”
Dados fornecidos (listei tudo que aparece no enunciado):
  • Dois condutores retos e paralelos têm comprimento \,L\, e estão separados por uma distância \,a\,.
  • Uma bateria com força eletromotriz \,\varepsilon\, e resistência interna \,r\, tem um polo ligado a um dos condutores e o outro polo ao outro condutor.
  • Um terceiro fio condutor é apoiado sobre os dois condutores, perpendicular a eles, fechando o circuito elétrico (isto significa que o terceiro fio tem comprimento igual à separação entre os condutores, ou seja |\vec{\ell}|=a).
  • Aplica-se um campo magnético \vec{B} perpendicular ao plano formado pelos fios condutores.
  • Pergunta: qual é a força magnética sobre o terceiro fio (módulo e direção)?

Passo 2

Entendendo a corrente que circula no circuito (isso é essencial para calcular a força).
Quando a bateria está conectada aos dois condutores e o terceiro fio fecha o circuito, percorre-se um circuito em que assumimos que os condutores são ideais (resistência desprezível) exceto pela resistência interna da bateria \,r. Nessa situação, pela lei de Ohm para uma fonte com resistência interna, a corrente que sai da bateria e percorre o circuito fechado é
I=\frac{\varepsilon}{r}.
Explicação didática: a bateria pode ser modelada como uma fonte ideal \varepsilon em série com uma resistência interna \,r. Se o resto do circuito tem resistência muito pequena, a resistência total é aproximadamente \,r, logo a corrente é \varepsilon dividida por \,r. (Se os fios tivessem resistência significativa, somaria-se essa resistência ao denominador.)

Passo 3

Fórmula da força magnética sobre um fio retilíneo percorrido por corrente.
Para um fio retilíneo de comprimento vetorial \vec{\ell} percorrido por corrente I imerso em campo magnético \vec{B}, a força magnética total sobre o fio é dada por
\vec{F}=I\,\vec{\ell}\times\vec{B}.
Aqui:
  • \vec{\ell} é o vetor que tem direção e sentido do fio no sentido da corrente e módulo igual ao comprimento do segmento de fio considerado;
  • \times é o produto vetorial (cruz), que produz um vetor perpendicular aos dois vetores;
  • I é a intensidade da corrente (positivo para corrente convencional, do pólo positivo ao negativo da bateria).
    Magnitute: o módulo dessa força é
F=I\,\ell\,B\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{\ell} e \vec{B}.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso geométrico.
No problema, o terceiro fio está apoiado perpendicularmente entre os dois condutores, então seu comprimento é \ell=a. O campo magnético é perpendicular ao plano dos fios; como o terceiro fio está no plano, o ângulo entre \vec{\ell} e \vec{B} é \theta=90^\circ, logo \sin\theta=1. Substituindo:
F=I\,a\,B.
Agora substituímos I obtido no Passo 2:
F=\frac{\varepsilon}{r}\,a\,B.
Passo-a-passo da álgebra: primeiro escrevi F=I a B porque \sin 90^\circ=1; depois troquei I por \varepsilon/r.

Passo 5

Direção da força (como decidir na prova).
A direção vetorial é dada por \vec{F}=I\,\vec{\ell}\times\vec{B}. Para determinar o sentido concreto, use a regra da mão direita: aponte o dedo indicador na direção de \vec{\ell} (direção da corrente no terceiro fio), o dedo médio na direção de \vec{B}; o polegar então indica o sentido de \vec{F}. Exemplo prático: se tomarmos um sistema de eixos em que os trilhos estão ao longo do eixo x, o terceiro fio está ao longo do eixo y (com |\vec{\ell}|=a) e \vec{B} aponta para +\hat{z}, então
\vec{\ell}=a\,\hat{y},\quad \vec{B}=B\,\hat{z}\quad\Rightarrow\quad \vec{F}=I(a\,\hat{y})\times(B\,\hat{z})=Iab\,\hat{x},
ou seja, a força está ao longo dos trilhos (e o sentido depende do sentido da corrente).

Passo 6

Observação prática e variação se houver resistência externa.
Se os condutores não forem ideais e houver uma resistência externa efetiva R_{\text{ext}} no circuito além de r, a corrente seria I=\dfrac{\varepsilon}{r+R_{\text{ext}}} e a força seria
F=\frac{\varepsilon}{r+R_{\text{ext}}}\,a\,B.
Mas, conforme o enunciado padrão, assumimos resistências dos fios desprezíveis, então usamos R_{\text{ext}}=0.

Resposta

\displaystyle F=\frac{\varepsilon\,B\,a}{r}
\displaystyle \vec{F}=\frac{\varepsilon}{r}\,\vec{\ell}\times\vec{B}\quad(\,|\vec{\ell}|=a\,)

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