1 - Uma espira na forma de um triângulo equilátero de lado
está no primeiro quadrante do plano
com um dos vértices na origem e um dos lados no eixo
. Obtenha a força magnética em cada lado do triângulo se pela espira passar uma corrente
e o campo magnético aplicado aplicado for dado por
. Qual a força total sobre a espira ?
Passo 1
O enunciado dá que temos uma espira no formato de triângulo equilátero de lado
situada no primeiro quadrante do plano
, com um vértice na origem e um dos lados apoiado no eixo
. Pela espira passa uma corrente de intensidade
. O campo magnético aplicado é
As perguntas são:
- Calcular a força magnética em cada lado do triângulo (ou seja, nos três lados).
- Calcular a força total sobre a espira (vetor resultante).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
(lado do triângulo), corrente
, e campo
dependente de
mais uma componente constante em
.
Passo 2
Vou fixar coordenadas e orientação da corrente para poder calcular as forças (a escolha da orientação da corrente é necessária porque a força magnética depende do sentido da corrente). Assumo que a corrente percorre a espira no sentido anti-horário visto de cima, começando na origem
, indo para
no eixo
, depois para
(vértice superior) e voltando a
. Assim os vértices ficam:
onde a altura do triângulo equilátero vale
Obs.: se invertêssemos o sentido da corrente todas as forças mudariam de sinal.
Passo 3
Fórmula fundamental: a força magnética sobre um elemento de fio que conduz corrente é
e a força total num segmento retilíneo é
Aqui
é o vetor elemento de comprimento apontando no sentido da corrente. Vou aplicar essa fórmula em cada lado, parametrizando cada segmento por um parâmetro variável, escrevendo
, substituindo
(lembrando que
e portanto depende da coordenada
ao longo do segmento) e integrando. Lembrete rápido de produto vetorial entre versores úteis:
e
Passo 4
Segmento de
para
. Parametrização simples por
:
Substituindo em
:
Calculando o produto vetorial termo a termo:
logo
Integramos de
a
:
Passo 5
Parametrizamos o segmento de
a
por
:
Então
A coordenada
ao longo do segmento é
. Substituindo em
com
:
Agora fazemos o produto vetorial termo a termo:
-
. -
. -
. -
.
Somando:
Integramos
de
a
. Componentes:
- Componente
: - Componente
: - Componente
: Calculamos
Assim
Portanto
Passo 6
Parametrizamos de
até
por
:
Então
e a coordenada
ao longo do segmento é
. Substituindo:
Calculando produto vetorial termo a termo:
-
. -
(mesma contribuição que antes). -
-
Somando:
Integramos
de
a
:
- Componente
: - Componente
: - Componente
: . Calculamos
Logo componente
é
. Assim
Passo 7
Agora somamos os três vetores
.
Componentes em
:
Componentes em
:
Componentes em
:
Portanto a força total é
Substituindo
:
Interpretação: a força total aponta no sentido
(para baixo em relação a
); se o sentido da corrente fosse invertido, o sinal da força total inverte-se.