3- Dois condutores são feitos do mesmo material e têm o mesmo comprimento. O condutor A é um fio sólido de raio r_{a}. O condutor B é um tudo oco de raio interno de r_{i} e raio externo de r_{e}. Quanto vale a razão entre as resistências \mathrm{R}_{\mathrm{A}} / \mathrm{R}_{\mathrm{B}} medidas entre as suas extremidades?
\left(R_{A} / R_{B}=\left(r_{e}{ }^{2}-r_{i}{ }^{2}\right) / r_{a}{ }^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma razão:
  • Dois condutores feitos do mesmo material e com o mesmo comprimento.
  • Condutor A: fio sólido de raio r_a.
  • Condutor B: tubo oco com raio interno r_i e raio externo r_e.
    O que se pede: calcular a razão entre as resistências medidas entre as extremidades, ou seja \dfrac{R_A}{R_B}.

Passo 2

Lembrete útil (fórmula e significado das grandezas).
  • A resistência elétrica de um condutor uniforme é dada por
R=\rho\,\frac{L}{A},
onde:
  • \rho é a resistividade do material (constante do material),
  • L é o comprimento do condutor (distância entre as extremidades),
  • A é a área da seção transversal do condutor (área por onde a corrente passa).
    Explicação rápida: quanto maior a área de seção transversal, mais “espaço” para a corrente passar, então menor resistência; quanto maior o comprimento, mais “obstáculo” e maior resistência. A resistividade \rho caracteriza o material.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos dois condutores. Como os dois têm o mesmo material e mesmo comprimento, \rho e L são iguais para A e B e poderão cancelar ao formar a razão.

Passo 4

Calcular as áreas de seção transversal:
  • Para o fio sólido (A), a seção é um círculo de raio r_a. Logo
A_A=\pi r_a^{2}.
  • Para o tubo oco (B), a seção é um anel (diferença de dois círculos), então
A_B=\pi\bigl(r_e^{2}-r_i^{2}\bigr).
Explicação do anel: a área interna removida é \pi r_i^2, então sobra \pi r_e^2-\pi r_i^2.

Passo 5

Escrever as resistências usando a fórmula:
R_A=\rho\,\frac{L}{A_A}=\rho\,\frac{L}{\pi r_a^{2}}, \qquad R_B=\rho\,\frac{L}{A_B}=\rho\,\frac{L}{\pi\bigl(r_e^{2}-r_i^{2}\bigr)}.

Passo 6

Fazer a razão \dfrac{R_A}{R_B} e simplificar, cancelando \rho, L e \pi:
\frac{R_A}{R_B} =\frac{\rho\,\dfrac{L}{\pi r_a^{2}}}{\rho\,\dfrac{L}{\pi\bigl(r_e^{2}-r_i^{2}\bigr)}} =\frac{\dfrac{1}{r_a^{2}}}{\dfrac{1}{r_e^{2}-r_i^{2}}} =\frac{r_e^{2}-r_i^{2}}{r_a^{2}}.
Interpretação: a razão das resistências é simplesmente a razão inversa das áreas de seção transversal; como a área do anel é \pi(r_e^2-r_i^2), aparece r_e^2-r_i^2 no numerador.

Passo 7

Pequeno exemplo numérico para fixar (opcional, só para intuir): se r_a=1, r_i=1 e r_e=2 (unidades quaisquer), então
\frac{R_A}{R_B}=\frac{2^{2}-1^{2}}{1^{2}}=\frac{4-1}{1}=3,
ou seja, R_A vale três vezes R_B nesse caso.

Resposta

\dfrac{R_A}{R_B}=\dfrac{r_e^{2}-r_i^{2}}{r_a^{2}}

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