1{ }^{\text {a }} Questão

Mostre que uma partícula carregada em um campo magnético uniforme descreve uma órbita circular com um período orbital que é independente do raio. Encontre a relação entre a velocidade angular e a densidade de fluxo magnético para um elétron (a frequência ciclotron).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Mostrar que uma partícula carregada que se move em um campo magnético uniforme descreve uma órbita circular (no caso em que a velocidade é perpendicular ao campo) e que o período dessa órbita é independente do raio.
  • Encontrar a relação entre a velocidade angular (ou frequência angular) e a densidade de fluxo magnético para o elétron — isto é, obter a frequência ciclotron.
Informações e notação que vamos usar (tudo que vem do enunciado ou é convencional):
  • A partícula tem carga \,q, e massa \,m.
  • O campo magnético é uniforme e vale \mathbf{B} (módulo \,B).
  • A velocidade da partícula é \mathbf{v} (módulo \,v).
  • Consideramos primeiro o caso em que \mathbf{v} é perpendicular a \mathbf{B} (caso clássico que gera movimento circular).
  • Para o elétron, a carga é \,q=-e com e>0, e a massa é m_e.

Passo 2

A força magnética sobre uma carga em movimento é dada pela lei de Lorentz. Vou escrever a forma vetorial e depois a forma de módulo:
\mathbf{F}_B = q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}.
Aqui:
  • \mathbf{F}_B é a força magnética (vetor),
  • q é a carga da partícula,
  • \mathbf{v} é a velocidade (vetor),
  • \mathbf{B} é o campo magnético (vetor),
  • \times é o produto vetorial.
O módulo (tamanho) dessa força é
F_B = |q|\,v\,B\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{v} e \mathbf{B}. No caso que consideramos — velocidade perpendicular ao campo — tem-se \theta=90^\circ e \sin\theta=1. Portanto:
F_B = |q|\,v\,B.
Observação física importante: a força magnética é sempre perpendicular ao plano formado por \mathbf{v} e \mathbf{B}. Quando \mathbf{v}\perp\mathbf{B}, a força é perpendicular a \mathbf{v} em todo instante, portanto não faz trabalho (não muda a energia cinética) e só altera a direção da velocidade — condição típica para movimento circular.

Passo 3

Para manter uma trajetória circular de raio \,r e velocidade escalar \,v, a partícula precisa de uma força centrípeta dirigida ao centro da curva com módulo
F_{\text{cent}} = \frac{m v^{2}}{r},
onde m é a massa da partícula. Como a força magnética é a única força perpendicular que age (no idealização), igualamos os módulos:
|q|\,v\,B = \frac{m v^{2}}{r}.
Essa igualdade vem diretamente de igualar a força magnética (que fornece a curvatura) com a necessidade de força centrípeta para manter a partícula em curva.

Passo 4

A partir de
|q|\,v\,B = \frac{m v^{2}}{r},
podemos simplificar um fator v (assumindo v\neq0) e resolver para o raio \,r:
r = \frac{m v}{|q|\,B}.
Isso mostra duas coisas:
  • O raio r é proporcional à velocidade v e inversamente proporcional ao campo B e à carga |q|.
  • Para uma dada velocidade v e campo B, obtemos um círculo de raio r.
Agora vamos obter a velocidade angular (frequência angular) \omega. Em movimento circular uniforme vale
\omega = \frac{v}{r}.
Substituindo r da expressão anterior:
\omega = \frac{v}{\dfrac{m v}{|q|\,B}} = \frac{|q|\,B}{m}.
Portanto a frequência angular depende apenas de q, B e m, e não depende de v nem de r. Essa é a razão pela qual o período é independente do raio: \omega não contém r.

Passo 5

A partir de \omega podemos obter a frequência comum f (em ciclos por segundo) e o período T:
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{|q|\,B}{2\pi m}, \qquad T = \frac{1}{f} = \frac{2\pi m}{|q|\,B}.
Note que T não contém r: o período é independente do raio da órbita. Intuição física: embora órbitas com maior r exijam maior velocidade v, o aumento de v e de r se cancelam na expressão T=2\pi r/v, resultando em T fixado por m/(|q|B).

Passo 6

Agora aplicando ao elétron. Para o elétron temos q=-e (com e>0) e massa m_e. A expressão vetorial original dá também o sentido da rotação: o sinal de q determina o sentido (o elétron, sendo negativo, gira no sentido oposto ao de uma carga positiva). Para a magnitude da frequência angular (frequência ciclotron) usamos:
\omega_c = \frac{e\,B}{m_e}.
A frequência em hertz é
f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} = \frac{e\,B}{2\pi m_e},
e o período é
T_c = \frac{2\pi m_e}{e\,B}.
Se quiser um valor numérico por tesla de campo magnético:
\frac{\omega_c}{B}=\frac{e}{m_e}\approx 1{,}758820\times 10^{11}\\ \text{s}^{-1}\,\text{T}^{-1},
ou em frequência:
\frac{f_c}{B}=\frac{e}{2\pi m_e}\approx 2{,}799249\times 10^{10}\\ \text{Hz}\,\text{T}^{-1},
o que significa que para cada tesla de campo a frequência ciclotron do elétron é cerca de 2{,}8\times10^{10}\\ \text{Hz}.

Passo 7

Observações finais didáticas e úteis para prova:
  • Se a velocidade inicial tiver uma componente paralela a \mathbf{B}, essa componente permanece inalterada (a força magnética não atua nela) e a trajetória é uma hélice: movimento circular na componente perpendicular com a mesma \omega_c e movimento retilíneo uniforme na componente paralela.
  • O sinal de q só altera o sentido de rotação; a magnitude da frequência depende de |q|.
  • Em muitos problemas práticos usa-se a forma compacta \omega_c = |q|B/m e, para elétron, \omega_c = eB/m_e em módulo.

Resposta

\omega=\dfrac{qB}{m} (direção determinada pelo sinal de q);\newline
para o elétron, \omega_c=\dfrac{eB}{m_e} (módulo da frequência ciclotron);\newline
f_c=\dfrac{eB}{2\pi m_e};\newline
T_c=\dfrac{2\pi m_e}{eB}.

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