Questão
Mostre que uma partícula carregada em um campo magnético uniforme descreve uma órbita circular com um período orbital que é independente do raio. Encontre a relação entre a velocidade angular e a densidade de fluxo magnético para um elétron (a frequência ciclotron).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Mostrar que uma partícula carregada que se move em um campo magnético uniforme descreve uma órbita circular (no caso em que a velocidade é perpendicular ao campo) e que o período dessa órbita é independente do raio.
- Encontrar a relação entre a velocidade angular (ou frequência angular) e a densidade de fluxo magnético para o elétron — isto é, obter a frequência ciclotron.
Informações e notação que vamos usar (tudo que vem do enunciado ou é convencional):
- A partícula tem carga
, e massa . - O campo magnético é uniforme e vale
(módulo ). - A velocidade da partícula é
(módulo ). - Consideramos primeiro o caso em que
é perpendicular a (caso clássico que gera movimento circular). - Para o elétron, a carga é
com , e a massa é .
Passo 2
A força magnética sobre uma carga em movimento é dada pela lei de Lorentz. Vou escrever a forma vetorial e depois a forma de módulo:
Aqui:
-
é a força magnética (vetor), -
é a carga da partícula, -
é a velocidade (vetor), -
é o campo magnético (vetor), -
é o produto vetorial.
O módulo (tamanho) dessa força é
onde
é o ângulo entre
e
. No caso que consideramos — velocidade perpendicular ao campo — tem-se
e
. Portanto:
Observação física importante: a força magnética é sempre perpendicular ao plano formado por
e
. Quando
, a força é perpendicular a
em todo instante, portanto não faz trabalho (não muda a energia cinética) e só altera a direção da velocidade — condição típica para movimento circular.
Passo 3
Para manter uma trajetória circular de raio
e velocidade escalar
, a partícula precisa de uma força centrípeta dirigida ao centro da curva com módulo
onde
é a massa da partícula. Como a força magnética é a única força perpendicular que age (no idealização), igualamos os módulos:
Essa igualdade vem diretamente de igualar a força magnética (que fornece a curvatura) com a necessidade de força centrípeta para manter a partícula em curva.
Passo 4
A partir de
podemos simplificar um fator
(assumindo
) e resolver para o raio
:
Isso mostra duas coisas:
- O raio
é proporcional à velocidade e inversamente proporcional ao campo e à carga . - Para uma dada velocidade
e campo , obtemos um círculo de raio .
Agora vamos obter a velocidade angular (frequência angular)
. Em movimento circular uniforme vale
Substituindo
da expressão anterior:
Portanto a frequência angular depende apenas de
,
e
, e não depende de
nem de
. Essa é a razão pela qual o período é independente do raio:
não contém
.
Passo 5
A partir de
podemos obter a frequência comum
(em ciclos por segundo) e o período
:
Note que
não contém
: o período é independente do raio da órbita. Intuição física: embora órbitas com maior
exijam maior velocidade
, o aumento de
e de
se cancelam na expressão
, resultando em
fixado por
.
Passo 6
Agora aplicando ao elétron. Para o elétron temos
(com
) e massa
. A expressão vetorial original dá também o sentido da rotação: o sinal de
determina o sentido (o elétron, sendo negativo, gira no sentido oposto ao de uma carga positiva). Para a magnitude da frequência angular (frequência ciclotron) usamos:
A frequência em hertz é
e o período é
Se quiser um valor numérico por tesla de campo magnético:
ou em frequência:
o que significa que para cada tesla de campo a frequência ciclotron do elétron é cerca de
.
Passo 7
Observações finais didáticas e úteis para prova:
- Se a velocidade inicial tiver uma componente paralela a
, essa componente permanece inalterada (a força magnética não atua nela) e a trajetória é uma hélice: movimento circular na componente perpendicular com a mesma e movimento retilíneo uniforme na componente paralela. - O sinal de
só altera o sentido de rotação; a magnitude da frequência depende de . - Em muitos problemas práticos usa-se a forma compacta
e, para elétron, em módulo.
Resposta
para o elétron,