Uma esfera metálica maciça, com raio igual a 0,50 \mathrm{~m}, possui uma carga líquida de 4,0 \mathrm{nC}. Encontre o módulo do campo elétrico em um ponto situado fora da esfera, a uma distância de 0,10 \mathrm{~m} de sua superfície;

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados numéricos que temos):
  • Raio da esfera: R=0,50\\ \mathrm{m}.
  • Carga líquida da esfera: Q=4,0\\ \mathrm{nC}.
  • O ponto onde queremos o campo está fora da esfera, a uma distância de 0,10\\ \mathrm{m} da superfície da esfera.
    O que o problema pede: encontrar o módulo do campo elétrico no ponto indicado.

Passo 2

Entendendo a regra física que vamos usar (explicação passo a passo, sem pular etapas).
  • Para uma esfera metálica maciça carregada (condutor em equilíbrio eletrostático), toda a carga está na superfície e o campo elétrico fora da esfera é exatamente o mesmo que o de uma carga pontual Q concentrada no centro da esfera. Essa é uma consequência da simetria esférica e da Lei de Gauss.
  • A Lei de Gauss, aplicada a uma superfície esférica de raio r centrada na esfera, diz que o fluxo elétrico pela superfície é igual à carga envolvida dividida por \epsilon_{0}. Para campo radial e uniforme em magnitude nessa superfície:
E\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}.
  • Isolando E obtemos a fórmula que vamos usar:
E=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{Q}{r^{2}}.
  • Aqui cada símbolo significa:
    • E: módulo do campo elétrico no ponto a distância r do centro (unidade \mathrm{N/C});
    • Q: carga total da esfera (unidade \mathrm{C});
    • r: distância do ponto até o centro da esfera (unidade \mathrm{m});
    • \epsilon_{0}: permissividade elétrica do vácuo, com valor \epsilon_{0}\approx8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})}.
  • É comum usar a constante k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\approx8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}. Assim a fórmula fica mais direta:
E=k\,\frac{Q}{r^{2}}.

Passo 3

Converter a carga dada em unidades do SI (Coulomb).
  • A carga informada é Q=4,0\\ \mathrm{nC}. Lembrando que 1\\ \mathrm{nC}=10^{-9}\\ \mathrm{C}, temos:
Q=4{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.

Passo 4

Determinar a distância r do ponto até o centro da esfera.
  • O ponto está a 0,10\\ \mathrm{m} da superfície; portanto a distância até o centro é
r=R+0{,}10\\ \mathrm{m}=0{,}50\\ \mathrm{m}+0{,}10\\ \mathrm{m}=0{,}60\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular r^{2} para usar na fórmula:
r^{2}=(0{,}60\\ \mathrm{m})^{2}=0{,}36\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 6

Substituir os valores na fórmula E=k\,\dfrac{Q}{r^{2}} e calcular passo a passo.
  • Usando k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}, Q=4{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C} e r^{2}=0{,}36\\ \mathrm{m^{2}},
E=(8{,}99\times10^{9})\cdot\frac{4{,}0\times10^{-9}}{0{,}36}\\ \mathrm{N/C}.
  • Primeiro calcular o numerador k\cdot Q:
k\cdot Q = 8{,}99\times10^{9}\times 4{,}0\times10^{-9}=8{,}99\times4{,}0\times10^{0}=35{,}96.
(Aqui as potências de dez se cancelaram, 10^{9}\cdot10^{-9}=10^{0}=1.)
  • Agora dividir por r^{2}=0{,}36:
E=\frac{35{,}96}{0{,}36}\\ \mathrm{N/C}\approx99{,}888\ldots\\ \mathrm{N/C}.

Passo 7

Arredondamento e interpretação final.
  • Com os dados fornecidos (duas casas significativas em R e em Q), faz sentido apresentar o resultado com duas casas significativas: isso dá E\approx1{,}0\times10^{2}\\ \mathrm{N/C}.
  • O sentido do campo é radial para fora da esfera porque a carga Q é positiva.

Resposta

\;1{,}0\times10^{2}\\ \mathrm{N/C}

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