8- Dois corpos com temperaturas T_{A}=400 K e T_{B}=300 K são colocados em contato. Se os corpos estão isolados termicamente, o que ocorre para que os corpos alcancem o equilíbrio térmico?

Passo 1

O enunciado dá duas temperaturas iniciais:
  • T_A = 400\\ \text{K} (corpo A, mais quente)
  • T_B = 300\\ \text{K} (corpo B, mais frio)
Condição: os dois corpos estão isolados termicamente (isto é, o conjunto “A + B” não troca calor com o ambiente).
A pergunta é: o que ocorre para que os corpos alcancem o equilíbrio térmico? (Ou seja: qual é o processo físico que leva as temperaturas a se igualarem e quais são as leis envolvidas?)

Passo 2

Primeira ideia-chave: conservação de energia no sistema isolado.
Como o sistema formado pelos dois corpos é isolado, a energia interna total se conserva. Se Q_A é o calor trocado pelo corpo A e Q_B o calor trocado pelo corpo B, vale a conservação
Q_A + Q_B = 0.
Convenção de sinais: calor positivo é recebido pelo corpo. Assim, se A perde calor Q (fica mais frio), então Q_A = -Q e Q_B = +Q.

Passo 3

Direção do fluxo de calor (intuição macroscópica e motivo físico):
O calor flui espontaneamente do corpo com maior temperatura para o corpo com menor temperatura. Aqui, como T_A > T_B, existe um fluxo líquido de energia térmica saindo de A em direção a B. Microscopicamente isso ocorre porque as partículas mais energéticas do corpo quente (fótons, elétrons, fônons, colisões entre moléculas, dependendo do meio) transferem energia para as partículas do corpo frio; no balanço há transferência líquida do quente para o frio até que as velocidades (energias médias) das partículas fiquem iguais, isto é, até as temperaturas se igualarem.

Passo 4

Introdução do conceito de entropia (por que o processo acontece “até” a igualdade de temperaturas):
A entropia termodinâmica S mede, de forma macroscópica, a tendência do sistema em alcançar estados mais prováveis. Para uma troca de calor reversível elementar, a variação de entropia é
dS=\frac{dQ_{\text{rev}}}{T},
onde dQ_{\text{rev}} é o calor reversível trocado e T a temperatura local. Em processos irreversíveis reais (como a troca espontânea entre dois corpos com T_A\ne T_B) a entropia total do sistema isolado aumenta. Assim, a razão fundamental é a Segunda Lei: em um sistema isolado, a entropia total nunca diminui; no processo espontâneo ela aumenta até atingir um máximo no equilíbrio.

Passo 5

Cálculo do estado final (caso comum: capacidades térmicas constantes) — aqui aprendemos a calcular a temperatura final prática que aparece em provas: suponha que cada corpo tenha capacidade térmica (ou calor específico multiplicado pela massa) constante C_A e C_B. O calor recebido pelo corpo i ao ir de T_i até T_f é
Q_i = C_i\,(T_f - T_i).
Pela conservação de energia Q_A+Q_B=0, então
C_A\,(T_f - T_A) + C_B\,(T_f - T_B) = 0.
Resolvendo para T_f:
T_f \bigl(C_A + C_B\bigr) = C_A T_A + C_B T_B,
\boxed{\,T_f = \dfrac{C_A T_A + C_B T_B}{C_A + C_B}\,}.
Interpretação: a temperatura final é a média ponderada das temperaturas iniciais com pesos dados pelas capacidades térmicas; na prova, se C_A=C_B então T_f = \dfrac{T_A+T_B}{2}.

Passo 6

Mostrando que a entropia total aumenta (prova curta, útil para a prova): com capacidades constantes, a variação de entropia de cada corpo ao chegar a T_f é
\Delta S_A = C_A \ln\!\left(\dfrac{T_f}{T_A}\right),\qquad \Delta S_B = C_B \ln\!\left(\dfrac{T_f}{T_B}\right).
Logo a variação total é
\Delta S_{\text{total}} = C_A \ln\!\left(\dfrac{T_f}{T_A}\right) + C_B \ln\!\left(\dfrac{T_f}{T_B}\right).
Defina a=\dfrac{C_A}{C_A+C_B} e b=\dfrac{C_B}{C_A+C_B} (logo a+b=1). Dividindo por C_A+C_B obtemos
\frac{\Delta S_{\text{total}}}{C_A+C_B} = \ln(T_f) - \bigl(a\ln T_A + b\ln T_B\bigr).
Mas T_f = a T_A + b T_B. Como a função \ln é côncava, vale a desigualdade de Jensen (para concavidade)
\ln\bigl(a T_A + b T_B\bigr) \ge a\ln T_A + b\ln T_B.
Portanto
\ln(T_f) - \bigl(a\ln T_A + b\ln T_B\bigr) \ge 0,
ou seja \Delta S_{\text{total}}\ge 0. Igualdade ocorre só se T_A=T_B (caso final já igual). Conclusão física: a entropia total aumenta durante o processo irreversível e atinge máximo no equilíbrio, corroborando a Segunda Lei.

Passo 7

Condição de equilíbrio em termos gerais (sem assumir C constantes) — forma útil de prova:
Considere uma pequena transferência de calor dQ do A para B. A variação de entropia total é
dS_{\text{total}} = \frac{(-dQ)}{T_A} + \frac{dQ}{T_B} = \Bigl(\frac{1}{T_B}-\frac{1}{T_A}\Bigr)dQ.
Enquanto T_A>T_B, temos \frac{1}{T_B}-\frac{1}{T_A}>0, logo ao tomar dQ>0 (calor para B) a entropia total cresce. No equilíbrio a entropia total está máxima e variações infinitesimais não mudam S_{\text{total}}, logo deve valer T_A=T_B. Assim o equilíbrio térmico é caracterizado por igualdade de temperaturas — não existe mais fluxo de calor líquido.

Passo 8

Resumo físico e dicas práticas para a prova (tudo aquilo que você deve escrever numa resposta curta):
  • O calor flui do corpo mais quente para o mais frio até as temperaturas se igualarem.
  • A energia interna total do sistema isolado é conservada.
  • A entropia total aumenta durante o processo irreversível e atinge um máximo no equilíbrio (Segunda Lei).
  • Se for solicitado calcular a temperatura final e as capacidades térmicas forem constantes, usar
T_f = \dfrac{C_A T_A + C_B T_B}{C_A + C_B}.
  • Uma dica de redação na prova: justifique com conservação de energia e com a Segunda Lei (aumenta de entropia), e mostre que no equilíbrio T_A=T_B.

Resposta

Os corpos trocam calor do corpo mais quente para o mais frio até que as temperaturas se igualem; a energia interna total do sistema isolado é conservada e a entropia total aumenta durante o processo (Segunda Lei).
Se as capacidades térmicas forem constantes C_A e C_B, a temperatura de equilíbrio é T_f=\dfrac{C_A T_A + C_B T_B}{C_A + C_B}.

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