8- Dois corpos com temperaturas
e
são colocados em contato. Se os corpos estão isolados termicamente, o que ocorre para que os corpos alcancem o equilíbrio térmico?
Passo 1
O enunciado dá duas temperaturas iniciais:
-
(corpo A, mais quente) -
(corpo B, mais frio)
Condição: os dois corpos estão isolados termicamente (isto é, o conjunto “A + B” não troca calor com o ambiente).
A pergunta é: o que ocorre para que os corpos alcancem o equilíbrio térmico? (Ou seja: qual é o processo físico que leva as temperaturas a se igualarem e quais são as leis envolvidas?)
Passo 2
Primeira ideia-chave: conservação de energia no sistema isolado.
Como o sistema formado pelos dois corpos é isolado, a energia interna total se conserva. Se é o calor trocado pelo corpo
e
o calor trocado pelo corpo
, vale a conservação
Como o sistema formado pelos dois corpos é isolado, a energia interna total se conserva. Se
Convenção de sinais: calor positivo é recebido pelo corpo. Assim, se
perde calor
(fica mais frio), então
e
.
Passo 3
Direção do fluxo de calor (intuição macroscópica e motivo físico):
O calor flui espontaneamente do corpo com maior temperatura para o corpo com menor temperatura. Aqui, como , existe um fluxo líquido de energia térmica saindo de
em direção a
. Microscopicamente isso ocorre porque as partículas mais energéticas do corpo quente (fótons, elétrons, fônons, colisões entre moléculas, dependendo do meio) transferem energia para as partículas do corpo frio; no balanço há transferência líquida do quente para o frio até que as velocidades (energias médias) das partículas fiquem iguais, isto é, até as temperaturas se igualarem.
O calor flui espontaneamente do corpo com maior temperatura para o corpo com menor temperatura. Aqui, como
Passo 4
Introdução do conceito de entropia (por que o processo acontece “até” a igualdade de temperaturas):
A entropia termodinâmica mede, de forma macroscópica, a tendência do sistema em alcançar estados mais prováveis. Para uma troca de calor reversível elementar, a variação de entropia é
A entropia termodinâmica
onde
é o calor reversível trocado e
a temperatura local. Em processos irreversíveis reais (como a troca espontânea entre dois corpos com
) a entropia total do sistema isolado aumenta. Assim, a razão fundamental é a Segunda Lei: em um sistema isolado, a entropia total nunca diminui; no processo espontâneo ela aumenta até atingir um máximo no equilíbrio.
Passo 5
Cálculo do estado final (caso comum: capacidades térmicas constantes) — aqui aprendemos a calcular a temperatura final prática que aparece em provas: suponha que cada corpo tenha capacidade térmica (ou calor específico multiplicado pela massa) constante
e
. O calor recebido pelo corpo
ao ir de
até
é
Pela conservação de energia
, então
Resolvendo para
:
Interpretação: a temperatura final é a média ponderada das temperaturas iniciais com pesos dados pelas capacidades térmicas; na prova, se
então
.
Passo 6
Mostrando que a entropia total aumenta (prova curta, útil para a prova): com capacidades constantes, a variação de entropia de cada corpo ao chegar a
é
Logo a variação total é
Defina
e
(logo
). Dividindo por
obtemos
Mas
. Como a função
é côncava, vale a desigualdade de Jensen (para concavidade)
Portanto
ou seja
. Igualdade ocorre só se
(caso final já igual). Conclusão física: a entropia total aumenta durante o processo irreversível e atinge máximo no equilíbrio, corroborando a Segunda Lei.
Passo 7
Condição de equilíbrio em termos gerais (sem assumir
constantes) — forma útil de prova:
Considere uma pequena transferência de calor do A para B. A variação de entropia total é
Considere uma pequena transferência de calor
Enquanto
, temos
, logo ao tomar
(calor para B) a entropia total cresce. No equilíbrio a entropia total está máxima e variações infinitesimais não mudam
, logo deve valer
. Assim o equilíbrio térmico é caracterizado por igualdade de temperaturas — não existe mais fluxo de calor líquido.
Passo 8
Resumo físico e dicas práticas para a prova (tudo aquilo que você deve escrever numa resposta curta):
- O calor flui do corpo mais quente para o mais frio até as temperaturas se igualarem.
- A energia interna total do sistema isolado é conservada.
- A entropia total aumenta durante o processo irreversível e atinge um máximo no equilíbrio (Segunda Lei).
- Se for solicitado calcular a temperatura final e as capacidades térmicas forem constantes, usar
- Uma dica de redação na prova: justifique com conservação de energia e com a Segunda Lei (aumenta de entropia), e mostre que no equilíbrio
.
Resposta
Os corpos trocam calor do corpo mais quente para o mais frio até que as temperaturas se igualem; a energia interna total do sistema isolado é conservada e a entropia total aumenta durante o processo (Segunda Lei).
Se as capacidades térmicas forem constantes e
, a temperatura de equilíbrio é
.
Se as capacidades térmicas forem constantes