Dois dados não viciados são rolados. Suponha que X e Y representem, respectivamente, o maior e o menor valor obtido.
Encontre a função de probabilidade condicional de X dado Y.

Passo 1

Então, a questão diz: “Dois dados não viciados são rolados. Definimos X=maxresu e Y=minresu. A tarefa é achar a função de probabilidade condicional de X dado Y.”
Conteúdo: Probabilidade condicional em variáveis discretas.
O que vamos precisar:
  1. A distribuição conjunta P(X=x,Y=y).
  2. A distribuição marginal de Y, P(Y=y).
  3. A fórmula de probabilidade condicional P(X=xmid Y=y)=P(X=x,Y=y)P(Y=y).

Passo 2

Calcular P(X=x,Y=y):
  • Se x>y, há dois resultados possíveis no espaço amostral que geram esse par: (x,y) e (y,x). Cada um vale tfrac136, então
P(X=x,Y=y)=236=118, x>y
- Se x=y, só dá o caso (x,x), com probabilidade tfrac136, logo
P(X=y,Y=y)=136

Passo 3

Calcular a marginal de Y:
P(Y=y)=sumx=y^6P(X=x,Y=y) =136+sumx=y+1^6236 =1+2(6-y)36 =13-2y36

Passo 4

Usar definição de condicional:
$$P(X=x\mid Y=y)
=\frac{P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)}. P(X=xmid Y=y) =P(X=x,Y=y)P(Y=y)P(X=y\mid Y=y)
=\frac{\tfrac1{36}}{\tfrac{13-2y}{36}}
=\frac{1}{13-2y}. x=yP(X=x\mid Y=y)
=\frac{\tfrac2{36}}{\tfrac{13-2y}{36}}
=\frac{2}{13-2y}.$$
Fora disso, se P(X=ymid Y=y) =tfrac136tfrac13-2y36 =113-2y ou x>y, a probabilidade é zero.

Resposta

A função de probabilidade condicional é
P(X=xmid Y=y) = 113-2y, & x=y,[6pt] 213-2y, & x=y+1,dots,6,[4pt] 0,&caso contrário á

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