Os dois eixos da caixa de redução estão sujeitos a binários cujos momentos têm módulos M1=20,3 N cdot m e M2=4,07 N cdot m. A caixa pesa 267 N e tem seu centro de gravidade sobre o eixo z em z=152 mm. Substitua o peso e os dois binários por um torsor equivalente e determine: (a) a força resultante R, (b) o passo do torsor e © o ponto onde o eixo do torsor corta o plano x z.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente “substituir” o peso da caixa (267 N) e dois binários (M₁=20,3 N·m e M₂=4,07 N·m) por um único torsor equivalente. Aí, com esse torsor, queremos:
a) a força resultante R,
b) o passo (ou “pitch”) do torsor,
c) o ponto onde a sua linha de ação cruza o plano xz (ou seja, y=0).
Conteúdo envolvido: mecânica vetorial (momento de força, soma de varetas-couple, torsor), cálculo de resultante e pitch. Vamos precisar de:
  • definir sistema de eixos (origem no ponto O),
  • usar momento de uma força: M = r×F,
  • somar momentos de couples (binários),
  • fórmula do pitch:
    p = ( R·M ) / |R|²,
  • achar o ponto de cruzamento do eixo central via r₀ = ( R×M ) / |R|².

Passo 2

Calcular a força resultante R.
Apenas o peso é força pura (os binários são moments sem força equivalente). Se y pra cima for positivo, o peso aponta para baixo, então:
R ;=; (0,,-267,;0);N

Passo 3

Calcular o momento resultante M em O.
  1. Momento do peso em O: ele atua em (0,0,0,152 m), com força (0,−267,0).
    rpeso=(0,0,0,152), Fpeso=(0,-267,0)
    [
    \mathbf{M}{peso}
    = \mathbf{r}
    {peso}\times \mathbf{F}_{peso}

    Mpeso = rpesotimes Fpeso = i&j&k 0&0&0,152 0&-267&0 = (0cdot0 - 0,152cdot(-267)),i - (0cdot0 - 0cdot0),j + (0cdot(-267) - 0cdot0),k = (40,6,,0,,0);N·m
    = (0\cdot0 - 0{,}152\cdot(-267)),\mathbf{i}
    - (0\cdot0 - 0\cdot0),\mathbf{j}
    + (0\cdot(-267) - 0\cdot0),\mathbf{k}
    = (40{,}6,,0,,0);N·m.
    ]
  2. Binários (couples) ao longo de z somam diretamente em Mₖ: Mz = M1 + M2 = 20,3 + 4,07 = 24,37;N·m
Logo o momento total em O é
M = (40,6,;0,;24,37);N·m

Passo 4

Calcular o passo p = RcdotM|R|^2 do torsor:
RcdotM = 0cdot40,6 + (-267)cdot0 + 0cdot24,37 = 0
Como p = 0 só tem componente y e só tem componentes x e z, o produto escalar é zero:
E . Portanto

Passo 5

Achar o ponto r0 = RtimesM|R|^2 onde o eixo central (linha de ação do torsor) cruza o plano RtimesM = i&j&k 0 & -267 & 0 40,6 & 0 & 24,37 = l((-267)cdot24,37 - 0cdot0r),i - l(0cdot24,37 - 0cdot40,6r),j + l(0cdot0 - (-267)cdot40,6r),k = (-6507,;0,;10840);N·m . Para torsor de passo zero o ponto mais próximo da origem é
r0 =l(-6507/71289,;0,;10840/71289r)approx(-0,0913,;0,;0,1521),m
Calculando o produto vetorial:
[
\mathbf{R}\times\mathbf{M}

\bigl((-267)\cdot24{,}37 - 0\cdot0\bigr),\mathbf{i}
  • \bigl(0\cdot24{,}37 - 0\cdot40{,}6\bigr),\mathbf{j}
  • \bigl(0\cdot0 - (-267)\cdot40{,}6\bigr),\mathbf{k}
    = (-6507,;0,;10840);N·m.
    ]
Dividindo por :
Esse está em , então é o ponto pedido no plano xz.

Resposta

a)
b)
c) O eixo do torsor corta o plano em
m.

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