Os dois eixos de uma caixa de redução estão sujeitos a binários cujos momentos têm módulos M_{1}=20 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m} e M_{2}=4,0 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}. Substitua os dois binários por um único equivalente, determinando seu módulo, direção e sentido.

Passo 1

O enunciado pede para substituir dois binários por um único binário equivalente, determinando o seu módulo, direção e sentido.
Informações fornecidas (retirei da figura):
  • Módulo do binário no eixo da esquerda: \;M_{1}=20\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Módulo do binário no eixo da direita: \;M_{2}=4{,}0\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Os dois eixos estão no mesmo corpo e são perpendiculares: o eixo da direita está na direção x e o eixo da esquerda está na direção z. O eixo y é vertical (para cima), conforme a figura.

Passo 2

Vamos interpretar os binários como vetores momento livres (ou “binários vetoriais”) que podem ser somados vetoricamente. Regras e convenções que vou usar (explico para não ficar confuso):
  • Cada binário é representado por um vetor momento cuja direção é o eixo do respectivo eixo e cujo sentido é dado pela regra da mão direita aplicada à rotação indicada na figura.
  • Vou definir os vetores unitários: \mathbf{i} na direção positiva de x (para a direita), \mathbf{j} na direção positiva de y (para cima) e \mathbf{k} na direção positiva de z (para frente/saída conforme a figura). Isto forma um sistema de coordenadas de mão direita ( \mathbf{i}\times\mathbf{j}=\mathbf{k}).
  • Observando a figura, os sentidos dos arcos que representam os binários correspondem a vetores que apontam para os sentidos positivos de x e z. Portanto vou tomar:
    • \mathbf{M}_2 ao longo de +\mathbf{i} com módulo M_2.
    • \mathbf{M}_1 ao longo de +\mathbf{k} com módulo M_1.

Passo 3

Escrevendo os binários como vetores:
\mathbf{M}_1 = M_{1}\,\mathbf{k} = 20\,\mathbf{k}\\ \mathrm{N\cdot m},
\mathbf{M}_2 = M_{2}\,\mathbf{i} = 4{,}0\,\mathbf{i}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Explicação rápida: \mathbf{i} e \mathbf{k} são os vetores unitários; multiplicar por M dá o vetor momento com aquele módulo na direção do eixo.

Passo 4

O binário equivalente \mathbf{M} é a soma vetorial:
\mathbf{M}=\mathbf{M}_2+\mathbf{M}_1 = 4{,}0\,\mathbf{i} + 20\,\mathbf{k}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Isto significa que o momento resultante está no plano xz com componente 4{,}0 na direção x e 20 na direção z.

Passo 5

Calcular o módulo do binário resultante: é a norma do vetor \mathbf{M}:
\|\mathbf{M}\|=\sqrt{(4{,}0)^{2}+20^{2}}=\sqrt{16+400}=\sqrt{416}.
Fazendo a raiz:
\sqrt{416}\approx 20{,}396\\ \mathrm{N\cdot m}.
Arredondando com razoável precisão: \|\mathbf{M}\|\approx 20{,}4\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 6

Determinar a direção (vetor unitário) e o ângulo no plano xz.
Vetor unitário na direção de \mathbf{M}:
\hat{\mathbf{u}}=\frac{\mathbf{M}}{\|\mathbf{M}\|}=\frac{4{,}0\,\mathbf{i}+20\,\mathbf{k}}{20{,}396}\approx 0{,}1961\,\mathbf{i}+0{,}9810\,\mathbf{k}.
Isto significa que a direção tem componentes \approx 0{,}196 em x e \approx 0{,}981 em z.
Ângulo \theta entre \mathbf{M} e o eixo x (medido no plano xz, de x para z):
\theta=\arctan\!\left(\frac{\text{componente em }z}{\text{componente em }x}\right)=\arctan\!\left(\frac{20}{4{,}0}\right)=\arctan(5).
Numericamente,
\theta\approx 78{,}690^\circ.
Também é útil o ângulo em relação ao eixo z: 90^\circ-\theta\approx 11{,}310^\circ.

Passo 7

Sentido do binário resultante (interpretação física): usando a regra da mão direita, o vetor \mathbf{M} que encontramos (com componentes positivas em x e z) corresponde a um momento cujo eixo está inclinado no plano xz, apontando principalmente no sentido positivo de z e levemente para o positivo de x. O sentido de rotação induzido é aquele indicado pelo sentido do vetor \mathbf{M} — ou seja, o mesmo sentido dos binários originais (pois ambos contribuíram com componentes positivas).

Resposta

\|\mathbf{M}\|=20{,}4\\ \mathrm{N\cdot m}
Direção: \hat{\mathbf{u}}=0{,}1961\,\mathbf{i}+0{,}9810\,\mathbf{k} (ou \theta=\;78{,}69^\circ medidos a partir do eixo x no plano xz)
Sentido: apontando para o quadrante de +\mathbf{i} e +\mathbf{k} (isto é, inclinado para +\!z e levemente para +\!x; sentido de rotação determinado pela regra da mão direita, mesmo sentido dos binários originais).

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