Sabendo que a força de tração no cabo A C é de 1065 N , determine o momento da força aplicada no ponto C da placa, em relação a cada eixo coordenado.

Passo 1

O que o problema pede: determinar o momento da força (tensão no cabo AC, 1065\\ \mathrm{N}) aplicada no ponto C da placa, em relação a cada eixo coordenado (ou seja, calcular M_x,\;M_y,\;M_z em relação à origem O mostrada na figura).
Informações dadas na figura (usadas explicitamente):
  • A força de tração no cabo AC vale 1065\\ \mathrm{N}.
  • A figura mostra A diretamente acima de C (ou seja, a projeção de A no plano da placa é o ponto C); por isso assumimos que o cabo AC é vertical e a força em C atua vertical para cima (se a figura for outra, o resultado muda).
  • Dimensões da placa obtidas da imagem: comprimento no sentido x igual a 900\\ \mathrm{mm} e largura no sentido z igual a 600\\ \mathrm{mm}. A origem O está no centro da placa (conforme indicado na figura).
  • Eixos: eixo x apontando para a direita (passando por B), eixo y vertical para cima, eixo z apontando para a esquerda (na direção de D).
A partir disso, o ponto C é um canto da placa e seu vetor posição relativo a O (do centro para esse canto) é metade das dimensões em x e z. Vou explicitar essas coordenadas no passo seguinte. Observação: se você interpretar a figura de forma diferente (por exemplo A não estiver exatamente sobre C), me avise que eu refaço os cálculos com a outra interpretação.

Passo 2

Conceito que precisamos usar (aula rápida e prática):
  • O momento (vetorial) de uma força em relação à origem O é dado por
\mathbf{M}_O = \mathbf{r}\times\mathbf{F},
onde \mathbf{r} é o vetor posição do ponto de aplicação da força (aqui, C) medido a partir de O, e \mathbf{F} é o vetor força aplicado em C.
  • Para calcular o produto vetorial, podemos usar a fórmula componente a componente:
\mathbf{M}=(M_x,M_y,M_z),
com
M_x = r_y F_z - r_z F_y,
M_y = r_z F_x - r_x F_z,
M_z = r_x F_y - r_y F_x.
  • Importante: sempre trabalhar com unidades consistentes (aqui vou converter mm para m).

Passo 3

Determinar o vetor posição \mathbf{r} do ponto C relativo à origem O.
Da figura pegamos as dimensões 900\\ \mathrm{mm} (no sentido x) e 600\\ \mathrm{mm} (no sentido z). Como O é o centro da placa, as coordenadas de C são metade dessas dimensões com os sinais conforme orientação dos eixos:
  • metade em x: \tfrac{900}{2}=450\\ \mathrm{mm}=0,450\\ \mathrm{m},
  • em y: 0 (ponto C está no plano da placa),
  • metade em z: -\tfrac{600}{2}=-300\\ \mathrm{mm}=-0,300\\ \mathrm{m} (negativo porque z positivo vai para a esquerda e C está à direita na figura).
Logo
\mathbf{r} = (r_x,r_y,r_z) = (0,450,\;0,\;{-}0,300)\\ \mathrm{m}.
(escrevo corretamente em vetor: \mathbf{r}=(0,450,\;0,\;{-}0,300) mas para evitar confusão de vírgulas/parenteses, explicitamente:)
\mathbf{r} = (0{,}450,\;0,\;{-}0{,}300)\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Determinar o vetor força \mathbf{F}.
Como assumimos que o cabo AC é vertical e puxa para cima em C, a força em C é vertical para cima com magnitude 1065\\ \mathrm{N}. Assim
\mathbf{F}=(F_x,F_y,F_z)=(0,\;1065,\;0)\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Calcular o momento \mathbf{M}_O=\mathbf{r}\times\mathbf{F} componente a componente.
Usamos as fórmulas:
M_x = r_y F_z - r_z F_y,
M_y = r_z F_x - r_x F_z,
M_z = r_x F_y - r_y F_x.
Substituindo os valores ( r_x=0{,}450\\ \mathrm{m}, r_y=0, r_z=-0{,}300\\ \mathrm{m}; F_x=0, F_y=1065\\ \mathrm{N}, F_z=0):
  • Calcular M_x:
M_x = r_y F_z - r_z F_y = 0\cdot 0 - (-0{,}300)\cdot 1065 = 0{,}300\cdot 1065.
Fazendo a multiplicação:
0{,}300\times 1065 = 319{,}5\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Calcular M_y:
M_y = r_z F_x - r_x F_z = (-0{,}300)\cdot 0 - 0{,}450\cdot 0 = 0.
  • Calcular M_z:
M_z = r_x F_y - r_y F_x = 0{,}450\cdot 1065 - 0\cdot 0 = 0{,}450\cdot 1065.
Fazendo a multiplicação:
0{,}450\times 1065 = 479{,}25\\ \mathrm{N\cdot m}.
Portanto o vetor momento é
\mathbf{M}_O = (319{,}5,\;0,\;479{,}25)\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 6

Interpretação final (como usar na prova):
  • Use sempre \mathbf{M}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}. Identifique claramente \mathbf{r} (origem até o ponto de aplicação) e \mathbf{F} (direção e sentido da força).
  • Converta unidades (mm→m) antes de multiplicar para obter \mathrm{N\cdot m}.
  • Se a força não for ao longo de um eixo, decomponha \mathbf{F} em componentes e aplique o produto vetorial da mesma forma.
  • Atenção aos sinais (o sinal de r_z aqui foi negativo e gerou M_x positivo).

Resposta

M_x = 319{,}5\\ \mathrm{N\cdot m}
M_y = 0\\ \mathrm{N\cdot m}
M_z = 479{,}25\\ \mathrm{N\cdot m}

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