Substitua a força \mathbf{P} de 200 kN por um sistema força-binário equivalente em G.

Passo 1

O enunciado pede: substituir a força \mathbf{P} de 200\\ \text{kN} por um sistema força–binário equivalente em G.
Informações relevantes (retiradas da figura): a força \mathbf{P} é vertical para baixo com intensidade 200\\ \text{kN}; a linha de ação de \mathbf{P} está deslocada de 50\\ \text{mm} ao longo do eixo x em relação a G e de 25\\ \text{mm} ao longo do eixo z em relação a G. Essas distâncias ( 50\\ \text{mm} e 25\\ \text{mm}) foram lidas na figura.

Passo 2

Vamos passar tudo para unidades consistentes (metros e kN):
50\\ \text{mm} = 0{,}05\\ \text{m},\qquad 25\\ \text{mm} = 0{,}025\\ \text{m}.

Passo 3

Escrevo a força como vetor no sistema mostrado (eixo y positivo para cima): a força é para baixo com 200\\ \text{kN}, portanto
\mathbf{P} = -200\,\mathbf{j}\\ \text{(kN)}.

Passo 4

Defino o vetor posição \mathbf{r} do ponto G até a linha de ação de \mathbf{P}. Pela figura a linha de ação de \mathbf{P} está 0{,}05\\ \text{m} no sentido negativo de x a partir de G e 0{,}025\\ \text{m} no sentido positivo de z. Assim
\mathbf{r} = -0{,}05\,\mathbf{i} + 0\,\mathbf{j} + 0{,}025\,\mathbf{k}\\ \text{(m)}.
(Expliquei explicitamente os sinais: negativo em x porque a força está à esquerda de G na figura; positivo em z conforme leitura da figura.)

Passo 5

Para obter o binário em G equivalente à força aplicada fora de G usamos o momento em G dado por
\mathbf{M}_G = \mathbf{r}\times\mathbf{P}.
Lembre: o produto vetorial \mathbf{r}\times\mathbf{P} dá um vetor momento com unidades \text{(m)}\cdot\text{(kN)}=\text{kN}\!\cdot\!\text{m}. Vou calcular o produto vetorial pelo determinante da matriz das componentes.

Passo 6

Escrevo as componentes e monto o determinante:
\mathbf{r} = \begin{pmatrix}-0{,}05\\[4pt]0\\[4pt]0{,}025\end{pmatrix},\qquad \mathbf{P} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]-200\\[4pt]0\end{pmatrix}.
O produto vetorial é
\mathbf{M}_G=\mathbf{r}\times\mathbf{P}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] -0{,}05 & 0 & 0{,}025 \\[4pt] 0 & -200 & 0 \end{vmatrix}.
Agora computo componente a componente:
  • Componente em \mathbf{i}:
M_{Gx} = 0\cdot 0 - (0{,}025)(-200) = 0 - (-5) = 5\\ \text{(kN}\!\cdot\!\text{m)}.
  • Componente em \mathbf{j}:
M_{Gy} = -\big((-0{,}05)\cdot 0 - (0{,}025)\cdot 0\big) = -0 = 0\\ \text{(kN}\!\cdot\!\text{m)}.
  • Componente em \mathbf{k}:
M_{Gz} = (-0{,}05)(-200) - 0\cdot 0 = 10\\ \text{(kN}\!\cdot\!\text{m)}.
Portanto
\mathbf{M}_G = 5\,\mathbf{i} + 0\,\mathbf{j} + 10\,\mathbf{k}\\ \text{(kN}\!\cdot\!\text{m)}.]

Passo 7

Interpretação final: o sistema força–binário equivalente em G é composto pela mesma força aplicada em G mais o momento (binário) \mathbf{M}_G calculado. Ou seja, aplicar em G a força \mathbf{P} e acrescentar o binário \mathbf{M}_G torna o sistema equivalente ao aplicar \mathbf{P} no ponto original.

Resposta

\mathbf{P} = -200\,\mathbf{j}\\ \text{(kN)}
\mathbf{M}_G = 5\,\mathbf{i} + 0\,\mathbf{j} + 10\,\mathbf{k}\\ \text{(kN}\!\cdot\!\text{m)}

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