Uma força e um binário atuam em uma placa quadrada de lado a=50 \mathrm{~cm}. Sabendo que P=200 \mathrm{~N}, Q=150 \mathrm{Ne} \alpha=50^{\circ}, substitua a força e o binário dados por uma única força aplicada em um ponto que fica: (a) na linha A B e (b) na linha A C. Em cada caso, determine a distância de A ao ponto de aplicação da força.

Passo 1

O enunciado dá uma placa quadrada de lado a=50\\ \mathrm{cm}. Temos uma força P=200\\ \mathrm{N} aplicada no canto B com direção inclinada formando o ângulo \alpha=50^\circ (conforme a figura: tendência para cima e para a direita) e, além disso, existe um binário resultante gerado por duas forças horizontais opostas de módulo Q=150\\ \mathrm{N} aplicadas nas posições indicadas (isto é, as duas Q geram um binário de magnitude Q\cdot a).
O objetivo: substituir a força e o binário por uma única força de mesma intensidade P aplicada sobre a linha (reta) (a) AB e (b) AC. Para cada caso determinar a distância, medindo a partir de A, até o ponto de aplicação dessa força resultante.
Dados resumidos:
a=0{,}50\\ \mathrm{m},\qquad P=200\\ \mathrm{N},\qquad Q=150\\ \mathrm{N},\qquad \alpha=50^\circ.

Passo 2

Princípio físico e estratégia (explicação didática):
Quando temos uma força P e um binário (momento livre) M, podemos representá-los por uma única força P aplicada numa reta qualquer, desde que a nova força produza o mesmo momento resultante sobre um ponto de referência. Em 2D, o momento (escalares) de uma força em relação a um ponto O é dado por
M_O = x_O F_y - y_O F_x,
onde (x_O,y_O) são as coordenadas do ponto de aplicação medidos a partir de O, e F_x,F_y são as componentes da força. Aqui vou usar A como referência. Então, para obter a posição da força equivalente numa reta, igualamos o momento total (momento da força original + momento do binário) ao momento produzido pela força P aplicada no novo ponto sobre A. Esse é o método padrão: conservar o resultante (mesma força P) e conservar o momento (mesmo momento total).

Passo 3

Componentes da força P (aula rápida de trigonometria aplicada):
No desenho, \alpha é o ângulo entre a direção de P e a vertical; portanto a componente vertical de P (para cima) é
P_y = P\cos\alpha,
e a componente horizontal (para a direita) é
P_x = P\sin\alpha.
Calculemos numericamente:
P_y = 200\cos 50^\circ\approx 200\cdot 0{,}6427876 \approx 128{,}5575\\ \mathrm{N},
P_x = 200\sin 50^\circ\approx 200\cdot 0{,}7660444 \approx 153{,}2089\\ \mathrm{N}.
(Estas componentes são úteis para calcular momentos em torno de A.)

Passo 4

Momento gerado pelo binário formado pelas forças Q:
As duas forças horizontais Q aplicadas uma em A e outra em C (separadas pela distância vertical a) formam um binário (momento puro) de magnitude M_{Q}=Q\cdot a. Para calcular o momento total em relação a A devemos considerar o sentido (sinal). Tomando como positivo o sentido anti-horário (CCW), a força horizontal na posição inferior produz um momento que tende a girar no sentido horário se apontar para a esquerda, o que resulta em sinal negativo. No cálculo seguinte vamos usar o momento algébrico (com sinal).
O valor numérico do binário (módulo) é
M_{Q}=Q\cdot a = 150\\ \mathrm{N}\cdot 0{,}50\\ \mathrm{m} = 75{,}0\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 5

Momento da força P em relação a A:
A força P atua no ponto B, que tem coordenadas (a,0) em relação a A. O momento de P em relação a A (escalar, com sinal) é
M_P = x_B\,P_y - y_B\,P_x = a\cdot P_y - 0\cdot P_x = a\,P_y.
Numérico:
M_P = 0{,}50\cdot 128{,}5575 \approx 64{,}2788\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 6

Momento total em relação a A:
Somando os momentos (lembrando o sinal do binário): o binário gerado pelas forças Q (conforme o desenho) tem sentido que se opõe ao momento gerado pela componente vertical de P. Então, o momento total vale
M_{\text{tot}} = M_P - M_Q = a\,P_y - Q\,a = a\,(P_y - Q).
Substituindo valores:
M_{\text{tot}} = 0{,}50\cdot(128{,}5575 - 150) = 0{,}50\cdot(-21{,}4425) \approx -10{,}72125\\ \mathrm{N\cdot m}.
O sinal negativo significa que o momento resultante total é horário (clockwise) em relação a A.

Passo 7

Caso (a) — ponto sobre a linha AB: dedução e cálculo
Se a força equivalente P for aplicada na reta AB a uma distância x de A (coordenada (x,0)), o momento dessa força em relação a A é
M_{\text{equiv}} = x\,P_y.
Para conservar o momento devemos ter M_{\text{equiv}} = M_{\text{tot}}. Logo
x = \frac{M_{\text{tot}}}{P_y}.
Substituindo numericamente:
x = \frac{-10{,}72125}{128{,}5575}\approx -0{,}083444\\ \mathrm{m}\approx -83{,}4\\ \mathrm{mm}.
Interpretação didática do sinal: o resultado negativo indica que a reta de aplicação (linha AB estendida) intercepta a linha de ação da força equivalente no lado oposto de A — isto é, a 83{,}4\\ \mathrm{mm} à esquerda de A (fora do segmento AB que vai de A a B).

Passo 8

Caso (b) — ponto sobre a linha AC: dedução e cálculo
Se a força equivalente P for aplicada na reta AC a uma distância y de A para baixo (coordenada (0,-y)), o momento dessa força em relação a A é
M_{\text{equiv}} = y\,P_x
(veja: M = xF_y - yF_x; com x=0 fica -yP_x, mas o sinal será determinado pela orientação; usando a convenção aqui, tomamos y positivo para baixo e ajustamos pelo sinal do momento total já calculado). Igualando:
y = \frac{M_{\text{tot}}}{P_x}.
Substituindo numericamente:
y = \frac{-10{,}72125}{153{,}2089}\approx -0{,}069985\\ \mathrm{m}\approx -70{,}0\\ \mathrm{mm}.
Interpretação do sinal: negativo indica que a posição está no sentido oposto à direção escolhida positiva (ou seja, 70{,}0\\ \mathrm{mm} acima de A, fora do segmento AC que vai de A para baixo).

Passo 9

Resumo interpretativo final (como usar isso na prova):
  • A equação essencial que usamos é a conservação do momento: r_{\text{eq}}\times\mathbf{P}=M_{\text{tot}}.
  • Para pontos sobre AB o braço perpendicular vale x vezes a componente vertical de P; para pontos sobre AC o braço vale y vezes a componente horizontal de P.
  • Preste atenção ao sinal do binário (sentido do par de forças) ao somar momentos.
  • Se o resultado der negativo, significa que o ponto de aplicação fica no prolongamento da reta, no lado oposto a A (ou seja, fora do segmento da placa).

Resposta

(a) x = -0{,}08344\\ \mathrm{m} (isto é, 83{,}4\\ \mathrm{mm} à esquerda de A).\n
(b) y = -0{,}06999\\ \mathrm{m} (isto é, 70{,}0\\ \mathrm{mm} acima de A).

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