Uma força e um binário atuam em uma placa quadrada de lado
. Sabendo que
, substitua a força e o binário dados por uma única força aplicada em um ponto que fica: (a) na linha
e (b) na linha
. Em cada caso, determine a distância de
ao ponto de aplicação da força.
Passo 1
O enunciado dá uma placa quadrada de lado
. Temos uma força
aplicada no canto
com direção inclinada formando o ângulo
(conforme a figura: tendência para cima e para a direita) e, além disso, existe um binário resultante gerado por duas forças horizontais opostas de módulo
aplicadas nas posições indicadas (isto é, as duas
geram um binário de magnitude
).
O objetivo: substituir a força e o binário por uma única força de mesma intensidade aplicada sobre a linha (reta) (a)
e (b)
. Para cada caso determinar a distância, medindo a partir de
, até o ponto de aplicação dessa força resultante.
Dados resumidos:
O objetivo: substituir a força e o binário por uma única força de mesma intensidade
Dados resumidos:
Passo 2
Princípio físico e estratégia (explicação didática):
Quando temos uma força e um binário (momento livre)
, podemos representá-los por uma única força
aplicada numa reta qualquer, desde que a nova força produza o mesmo momento resultante sobre um ponto de referência. Em 2D, o momento (escalares) de uma força em relação a um ponto
é dado por
Quando temos uma força
onde
são as coordenadas do ponto de aplicação medidos a partir de
, e
são as componentes da força. Aqui vou usar
como referência. Então, para obter a posição da força equivalente numa reta, igualamos o momento total (momento da força original + momento do binário) ao momento produzido pela força
aplicada no novo ponto sobre
. Esse é o método padrão: conservar o resultante (mesma força
) e conservar o momento (mesmo momento total).
Passo 3
Componentes da força
(aula rápida de trigonometria aplicada):
No desenho, é o ângulo entre a direção de
e a vertical; portanto a componente vertical de
(para cima) é
No desenho,
e a componente horizontal (para a direita) é
Calculemos numericamente:
(Estas componentes são úteis para calcular momentos em torno de
.)
Passo 4
Momento gerado pelo binário formado pelas forças
:
As duas forças horizontais aplicadas uma em
e outra em
(separadas pela distância vertical
) formam um binário (momento puro) de magnitude
. Para calcular o momento total em relação a
devemos considerar o sentido (sinal). Tomando como positivo o sentido anti-horário (CCW), a força horizontal na posição inferior produz um momento que tende a girar no sentido horário se apontar para a esquerda, o que resulta em sinal negativo. No cálculo seguinte vamos usar o momento algébrico (com sinal).
As duas forças horizontais
O valor numérico do binário (módulo) é
Passo 5
Momento da força
em relação a
:
A força atua no ponto
, que tem coordenadas
em relação a
. O momento de
em relação a
(escalar, com sinal) é
A força
Numérico:
Passo 6
Momento total em relação a
:
Somando os momentos (lembrando o sinal do binário): o binário gerado pelas forças (conforme o desenho) tem sentido que se opõe ao momento gerado pela componente vertical de
. Então, o momento total vale
Somando os momentos (lembrando o sinal do binário): o binário gerado pelas forças
Substituindo valores:
O sinal negativo significa que o momento resultante total é horário (clockwise) em relação a
.
Passo 7
Caso (a) — ponto sobre a linha
: dedução e cálculo
Se a força equivalente for aplicada na reta
a uma distância
de
(coordenada
), o momento dessa força em relação a
é
Se a força equivalente
Para conservar o momento devemos ter
. Logo
Substituindo numericamente:
Interpretação didática do sinal: o resultado negativo indica que a reta de aplicação (linha AB estendida) intercepta a linha de ação da força equivalente no lado oposto de
— isto é, a
à esquerda de
(fora do segmento
que vai de
a
).
Passo 8
Caso (b) — ponto sobre a linha
: dedução e cálculo
Se a força equivalente for aplicada na reta
a uma distância
de
para baixo (coordenada
), o momento dessa força em relação a
é
Se a força equivalente
(veja:
; com
fica
, mas o sinal será determinado pela orientação; usando a convenção aqui, tomamos
positivo para baixo e ajustamos pelo sinal do momento total já calculado). Igualando:
Substituindo numericamente:
Interpretação do sinal: negativo indica que a posição está no sentido oposto à direção escolhida positiva (ou seja,
acima de
, fora do segmento
que vai de
para baixo).
Passo 9
Resumo interpretativo final (como usar isso na prova):
- A equação essencial que usamos é a conservação do momento:
. - Para pontos sobre
o braço perpendicular vale vezes a componente vertical de ; para pontos sobre o braço vale vezes a componente horizontal de . - Preste atenção ao sinal do binário (sentido do par de forças) ao somar momentos.
- Se o resultado der negativo, significa que o ponto de aplicação fica no prolongamento da reta, no lado oposto a
(ou seja, fora do segmento da placa).
Resposta
(a)
(isto é,
à esquerda de
).\n
(b) (isto é,
acima de
).
(b)