Dois elementos puros, R=12 \Omega e C=31,3 \mu F, são ligados em série com uma tensão aplicada de v(t)=100 \cos \left(2000 t-20^{\circ}\right) Volts. Os dois elementos são então ligados em paralelo com a mesma tensão. Calcular a corrente total em cada ligação. Qual é a freqüência dessa tensão e da corrente?
R : Série \Rightarrow i=5 \cos \left(2000 t+33,2^{\circ}\right) A \quad Paralelo \Rightarrow i=10,4 \cos \left(2000 t+16,8^{\circ}\right) A \quad f=318 H z

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as correntes totais nas duas configurações e a frequência da tensão/corrente.
  • Tensão aplicada: \displaystyle v(t)=100\cos\bigl(2000\,t-20^\circ\bigr) Volts. (peguei este valor do enunciado)
  • Resistência: \displaystyle R=12\\ \Omega. (peguei do enunciado)
  • Capacitância: \displaystyle C=31{,}3\\ \mu\text{F}=31{,}3\times10^{-6}\\ \text{F}. (peguei do enunciado)
O que se pede:
  • Corrente total quando R e C estão ligados em série, ou seja a mesma corrente percorre R e C.
  • Corrente total quando R e C estão ligados em paralelo, ou seja a mesma tensão aparece em R e em C e a corrente total é a soma das correntes dos ramos.
  • A frequência da tensão (e da corrente) associada a \omega=2000\\ \text{rad/s}.

Passo 2

Encontrar a frequência associada à pulsação \omega. Explicação da fórmula: a relação entre pulsação \omega (em rad/s) e frequência f (em Hz) é
\omega=2\pi f.
Aqui \omega=2000\\ \text{rad/s}. Logo
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{2000}{2\pi}\approx318{,}31\\ \text{Hz}.
Arredondando conforme o enunciado, f\approx318\\ \text{Hz}.

Passo 3

Calcular a reatância capacitiva e a impedância do capacitor. Aula curta: em regime senoidal estacionário usamos números complexos (fasores). A impedância de um capacitor é
Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-j\frac{1}{\omega C},
onde \omega é a pulsação, C a capacitância e j a unidade imaginária. O módulo X_C=\dfrac{1}{\omega C} é a reatância capacitiva (em ohms).
Calculemos \omega C e depois X_C:
\omega C=2000\cdot31{,}3\times10^{-6}=0{,}0626,
X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{0{,}0626}\approx15{,}974\\ \Omega.
Portanto a impedância do capacitor é
Z_C=-j\,15{,}974\\ \Omega\quad(\text{aprox. }-j16\\ \Omega).

Passo 4

Preparar o fasor da tensão e a impedância do resistor. Explicação: a forma de onda v(t)=V_m\cos(\omega t+\varphi) corresponde ao fasor (valor de pico) V=V_m\angle\varphi. Aqui
V=100\angle(-20^\circ)\\ \text{V}.
A impedância do resistor é puramente real:
Z_R=R=12\\ \Omega.

Passo 5

Analisar o circuito em série (R e C em série). Método: em série as impedâncias somam; a corrente fasorial é I=\dfrac{V}{Z_{\text{eq}}}.
Escrevendo a impedância total em série:
Z_{\text{serie}}=Z_R+Z_C=12-j\,15{,}974\\ \Omega.
Calcular módulo e argumento de Z_{\text{serie}}. Fórmulas usadas:
|Z|=\sqrt{(\Re Z)^2+(\Im Z)^2},\qquad \arg Z=\arctan\!\left(\frac{\Im Z}{\Re Z}\right).
Aplicando:
|Z_{\text{serie}}|=\sqrt{12^2+(-15{,}974)^2}=\sqrt{144+255{,}17}\approx19{,}978\\ \Omega,
\arg Z_{\text{serie}}=\arctan\!\left(\frac{-15{,}974}{12}\right)\approx-53{,}2^\circ.
Agora a corrente fasorial:
I_{\text{serie}}=\frac{V}{Z_{\text{serie}}}=\frac{100\angle(-20^\circ)}{19{,}978\angle(-53{,}2^\circ)}=\frac{100}{19{,}978}\angle\bigl(-20^\circ-(-53{,}2^\circ)\bigr).
Calculando magnitude e fase:
|I_{\text{serie}}|\approx\frac{100}{19{,}978}\approx5{,}001\\ \text{A},
\arg I_{\text{serie}}\approx -20^\circ+53{,}2^\circ=33{,}2^\circ.
Retornando ao domínio do tempo (explicação: um fasor I\angle\theta corresponde a i(t)=I\cos(\omega t+\theta)):
i_{\text{serie}}(t)\approx5{,}00\cos\bigl(2000\,t+33{,}2^\circ\bigr)\\ \text{A}.

Passo 6

Analisar o circuito em paralelo (R e C em paralelo). Método: a tensão nos dois ramos é a mesma (o mesmo fasor V); calcule a corrente em cada ramo e some fasorialmente:
I_{\text{total}}=I_R+I_C,\qquad I_R=\frac{V}{Z_R},\quad I_C=\frac{V}{Z_C}.
Calcular I_R:
I_R=\frac{100\angle(-20^\circ)}{12\angle0^\circ}=8{,}333\angle(-20^\circ)\\ \text{A}.
Calcular I_C: lembre que Z_C=15{,}974\angle(-90^\circ) em módulo/ângulo (pois Z_C=-jX_C).
I_C=\frac{100\angle(-20^\circ)}{15{,}974\angle(-90^\circ)}=\frac{100}{15{,}974}\angle\bigl(-20^\circ-(-90^\circ)\bigr)\approx6{,}262\angle70^\circ\\ \text{A}.
Somar fasorialmente I_R e I_C. Para somar é prático converter para forma retangular (explicação: A\angle\theta em retangular é A\cos\theta + jA\sin\theta).
Converter:
I_R=8{,}333\bigl(\cos(-20^\circ)+j\sin(-20^\circ)\bigr)\approx7{,}831 - j\,2{,}850\\ \text{A},
I_C=6{,}262\bigl(\cos70^\circ+j\sin70^\circ\bigr)\approx2{,}142 + j\,5{,}885\\ \text{A}.
Somando as partes real e imaginária:
I_{\text{total}}=(7{,}831+2{,}142)+j(-2{,}850+5{,}885)\approx9{,}973 + j\,3{,}035\\ \text{A}.
Calcular módulo e argumento do resultado:
|I_{\text{total}}|=\sqrt{9{,}973^2+3{,}035^2}\approx10{,}423\\ \text{A},
\arg I_{\text{total}}=\arctan\!\left(\frac{3{,}035}{9{,}973}\right)\approx16{,}9^\circ.
Voltando ao tempo:
i_{\text{paralelo}}(t)\approx10{,}42\cos\bigl(2000\,t+16{,}9^\circ\bigr)\\ \text{A}.

Passo 7

Resumo numérico (arredondamentos usados): na configuração série a corrente tem amplitude aproximadamente 5{,}00 A e fase +33{,}2^\circ. Na configuração em paralelo a corrente total tem amplitude aproximadamente 10{,}42 A e fase +16{,}9^\circ. A frequência é aproximadamente 318\\ \text{Hz}.

Resposta

\text{Série: } i(t)=5{,}00\cos\bigl(2000\,t+33{,}2^\circ\bigr)\\ \text{A}é
\text{Paralelo: } i(t)=10{,}42\cos\bigl(2000\,t+16{,}9^\circ\bigr)\\ \text{A}
f=318\\ \text{Hz}

Exercícios relacionados