Um circuito série constituído de \mathrm{L}=0,05 \mathrm{H} e um capacitor desconhecido têm a seguinte tensão aplicada e corrente resultante:
v(t)=100 \operatorname{sen}(5000 t) Volts; \quad i(t)=2 \operatorname{sen}\left(5000 t+90^{\circ}\right) Amperes
Achar a capacitância do capacitor. Qual a freqüência desse sistema.
R: \quad C=0,667 \mu F \quad f=796 H z

Passo 1

O enunciado dá um circuito série formado por um indutor com \mathrm{L}=0,05\\ \mathrm{H} e um capacitor desconhecido C. A tensão aplicada e a corrente resultante são:
v(t)=100\operatorname{sen}(5000t)\\ \text{V}, \qquad i(t)=2\operatorname{sen}\bigl(5000t+90^\circ\bigr)\\ \text{A}.
O que se pede:
  • A capacitância C do capacitor.
  • A frequência do sistema f.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A pulsação angular é \omega=5000\\ \mathrm{rad/s} (pois o argumento dos senos é 5000t).
  • Amplitude da tensão: V_m=100\\ \mathrm{V}.
  • Amplitude da corrente: I_m=2\\ \mathrm{A}.
  • A corrente está defasada de +90^\circ em relação à tensão (i.e., a corrente antecipa a tensão em 90^\circ).

Passo 2

Converter as funções no domínio do tempo para fasores (forma complexa útil para circuitos em regime senoidal):
  • O fasor da tensão escolhemos como \underline{V}=V_m\angle 0^\circ = 100\angle 0^\circ.
  • O fasor da corrente é \underline{I}=I_m\angle 90^\circ = 2\angle 90^\circ.
Explicando rápido o porquê: um sinal A\sin(\omega t+\varphi) corresponde ao fasor A\angle\varphi. Aqui usei amplitudes (não valores rms) e as fases dadas.

Passo 3

Relação fasorial entre tensão, corrente e impedância em série:
\underline{V}=\underline{I}\,\underline{Z}.
Logo a impedância total é
\underline{Z}=\frac{\underline{V}}{\underline{I}}.
Calculemos \underline{Z} usando os fasores do passo anterior:
\underline{Z}=\frac{100\angle 0^\circ}{2\angle 90^\circ}=\frac{100}{2}\angle(0^\circ-90^\circ)=50\angle(-90^\circ)\\ \Omega.
Interpretação: \underline{Z} é puramente imaginária negativa (ângulo -90^\circ), ou seja \underline{Z}=-j\,50\\ \Omega. Isso indica que o comportamento global do circuito é capacitivo (reatância líquida negativa).

Passo 4

Escrever a impedância do circuito série constituído por L e C:
\underline{Z}=j\omega L+\frac{1}{j\omega C}=j\Bigl(\omega L-\frac{1}{\omega C}\Bigr).
Aqui:
  • \omega é a pulsação (rad/s),
  • L é a indutância (H),
  • C é a capacitância (F).
Como concluímos que \underline{Z}=-j\,50, igualamos a parte imaginária:
j\Bigl(\omega L-\frac{1}{\omega C}\Bigr)=-j\,50.

Passo 5

Retirando o fator j e reorganizando a equação:
\omega L-\frac{1}{\omega C}=-50.
Multiplicando por -1:
\frac{1}{\omega C}-\omega L=50.
Assim obtemos a equação que relaciona C com os dados conhecidos.

Passo 6

Substituir \omega=5000\\ \mathrm{rad/s} e L=0,05\\ \mathrm{H} para calcular \omega L:
\omega L = 5000\cdot 0,05 = 250\\ \Omega.
Colocando isso na equação do passo anterior:
\frac{1}{\omega C}-250=50.
Portanto
\frac{1}{\omega C}=300.

Passo 7

Resolver para C:
\omega C=\frac{1}{300} \quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{300\,\omega}=\frac{1}{300\cdot 5000}=\frac{1}{1{,}5\times10^{6}}\\ \mathrm{F}.
Calcule o valor numérico:
C=6{,}666\ldots\times10^{-7}\\ \mathrm{F}=0{,}6666\ldots\\ \mu\mathrm{F}.
Arredondando sensivelmente (3 casas decimais em \mu\mathrm{F}):
C\approx0{,}667\\ \mu\mathrm{F}.

Passo 8

Calcular a frequência em hertz a partir de \omega:
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{5000}{2\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx795{,}77\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando:
f\approx796\\ \mathrm{Hz}.

Passo 9

Resumo físico rápido (cheque de consistência): o circuito resulta em uma impedância capacitiva (negativa) e a corrente antecipa a tensão por 90^\circ, o que condiz com um circuito onde a reatância capacitiva predomina. Os valores calculados são coerentes com isso.

Resposta

C=0{,}667\\ \mu\mathrm{F}
f=796\\ \mathrm{Hz}

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