Teorema de Reciprocidad y Resistencia de Transferencia: Defina y de 3 ejemplos.
Passo 1
Voy a dejar claro qué me pides y qué voy a entregar. Pides dos cosas: (i) una definición del Teorema de Reciprocidad y (ii) una definición de Resistencia de Transferencia, y además que dé 3 ejemplos.
Información relevante que usaré:
Debo dar definiciones precisas y didácticas.
Debo mostrar ejemplos concretos (numéricos o cualitativos) que ilustren las definiciones.
No me pediste un dominio específico, así que voy a usar la formulación más común y útil en redes lineales (eléctrica/mecánica/análogos), que es la que se aplica en muchos exámenes de exactas.
Passo 2
Definición didáctica del Teorema de Reciprocidad (en redes lineales, formulación elemental):
Primero aclaremos el contexto: se trabaja con un sistema lineal, bilateral y pasivo (por ejemplo una red de resistores lineales sin elementos no recíprocos). Sea una red con varios nodos referida a una referencia (masa). Si aplicamos una excitación (una corriente o una fuerza) en un punto y medimos una respuesta (una tensión o un desplazamiento) en otro punto, el Teorema de Reciprocidad dice que la respuesta es simétrica si intercambiamos lugar de la excitación y del punto de medida. Formalmente, para redes eléctricas en formulación nodal:
Escribimos las ecuaciones nodales en forma matricial:
G\,\mathbf{V}=\mathbf{I},
donde \mathbf{V} es el vector de tensiones nodales, \mathbf{I} es el vector de corrientes inyectadas en los nodos, y G es la matriz de conductancias nodales (symétrica si los elementos entre nodos son resistores bilaterales).
Si inyectamos una corriente I solamente en el nodo j (es decir \mathbf{I}=I\,\mathbf{e}_j), la tensión en el nodo i vale
V_i=(G^{-1})_{i j}\,I.
Definimos la resistencia de transferencia entre i y j como
R_{i j}=\frac{V_i}{I_j}\quad\text{(con todas las otras fuentes independientes puestas a cero).}
Como G es simétrica para redes de resistencias reales, su inversa G^{-1} también es simétrica. Luego
R_{i j}=(G^{-1})_{i j}=(G^{-1})_{j i}=R_{j i}.
Ésta es la esencia del Teorema de Reciprocidad: el efecto en i debido a una excitación en j es igual al efecto en j debido a la misma excitación colocada en i, bajo las hipótesis mencionadas.
Importante: las hipótesis son críticas. Si aparecen elementos no recíprocos (gyradores, ciertos elementos activos con acoplamientos no simétricos, transformadores con dirección, o medios anisótropos con comportamiento no simétrico), la matriz G deja de ser simétrica y la reciprocidad falla. También se requiere linealidad y condiciones estacionarias (o lineal tiempo-invariante en dominio apropiado).
Passo 3
Definición didáctica de Resistencia de Transferencia:
Idea intuitive: si metes una corriente I en un punto j del circuito y mides la tensión V_i en otro punto i (respecto a la referencia), la resistencia de transferencia R_{i j} es la «proporción» entre esa tensión y la corriente inyectada, con todas las demás fuentes independientes puestas a cero.
Cómo calcularla en la práctica (procedimiento de examen, sin calculadora si es simple):
Apagar (anular) todas las fuentes independientes: fuentes de tensión por cortocircuito y fuentes de corriente por circuito abierto.
Inyectar una corriente de prueba I en el nodo j (hacia la red) y sacar la corriente por la referencia.
Resolver las ecuaciones nodales para obtener V_i.
Calcular R_{i j}=V_i/I.
Relación con la matriz de impedancias nodales: R_{i j}=(G^{-1})_{i j}. La simetría de G^{-1} da la reciprocidad R_{i j}=R_{j i}.
Passo 4
Ejemplo 1 — red simple de dos nodos con conexión a tierra (ejemplo numérico paso a paso).
Red: tres resistores: R_a entre nodo 1 y tierra; R_b entre nodo 2 y tierra; R_c entre nodo 1 y nodo 2.
Tomemos los valores \,R_a=1\\ \Omega,\; R_b=2\\ \Omega,\; R_c=3\\ \Omega.
Paso a paso:
Si inyectamos una corriente I en el nodo 2, la tensión en el nodo 1 es V_1=(G^{-1})_{12}\,I=\tfrac{1}{3}I. Entonces
R_{1 2}=\frac{V_1}{I}=\tfrac{1}{3}\\ \Omega.
Por simetría de G^{-1}, (G^{-1})_{21}=\tfrac{1}{3} también y R_{2 1}=\tfrac{1}{3}\\ \Omega. Así se verifica la reciprocidad numéricamente.]
Passo 5
Ejemplo 2 — ejemplo mecánico (Maxwell–Betti): dos puntos en una estructura con resortes.
Contexto: una estructura lineal elástica discretizada en nodos unidos por resortes lineales (constante de rigidez k). En la formulación habitual:
La matriz de rigidez K es simétrica (por energía potencial y bilateridad de los resortes).
Si aplico una fuerza F en el nodo j y mido el desplazamiento u_i en el nodo i, la «compliance» de transferencia es
C_{i j}=\frac{u_i}{F_j}=(K^{-1})_{i j}.
Como K es simétrica, K^{-1} es simétrica y entonces
C_{i j}=C_{j i}.
Ejemplo concreto y sencillo: dos masas/rodillas conectadas a tierra mediante resortes k_a y k_b y conectadas entre sí por k_c. Es análogo matemáticamente al Ejemplo 1 con k en lugar de conductancias; la reciprocidad se verifica igual: la desplazamiento en 1 por fuerza en 2 es igual al desplazamiento en 2 por la misma fuerza en 1.
Passo 6
Ejemplo 3 — observación práctica y contraejemplo (qué rompe la reciprocidad).
Primero un ejemplo práctico adicional (eléctrico): una red de resistores arbitraria, con sólo resistores lineales y conexiones pasivas. La regla general es: para cualquier par de nodos i,j,
R_{i j}=R_{j i},
y se puede calcular con inyección de corriente de prueba o extrayendo el elemento (i,j) de G^{-1}. Esto se usa en problemas de circuitos para obtener valores de Thevenin/ Norton cruzados y para redes de sensores.
Contraejemplo que ilustra la hipótesis: si en la red hay un gyrador ideal o un elemento activo que introduce acoplamiento no simétrico, la matriz nodal efectiva deja de ser simétrica y la reciprocidad falla. Por ejemplo, un amplificador con ganancia no recíproca entre puertos rompe la igualdad R_{i j}=R_{j i}. En la práctica, siempre comprobar la bilateralidad/linealidad antes de aplicar la reciprocidad.
Passo 7
Resumen conceptual para usar en la prueba (lista de pasos rápidos):
Para obtener R_{i j}: anular otras fuentes, inyectar corriente I en j, resolver nodal y calcular V_i/I.
Si se pide probar reciprocidad, muestra que la matriz G es simétrica ⇒ G^{-1} simétrica ⇒ R_{i j}=R_{j i}.
Si la red contiene elementos no recíprocos, no uses el teorema (da un contraejemplo).
Resposta
Teorema de Reciprocidad: En una red lineal, pasiva y bilateral (por ejemplo una red de resistores lineales), si una excitación aplicada en el nodo j produce una respuesta en el nodo i, entonces la misma excitación aplicada en i produce la misma respuesta en j. Formalmente, con G\mathbf{V}=\mathbf{I} y R_{ij}=\dfrac{V_i}{I_j} (otras fuentes anuladas), se tiene R_{ij}=(G^{-1})_{ij}=(G^{-1})_{ji}=R_{ji}.
Resistencia de Transferencia: Para dos nodos i y j, la resistencia de transferencia R_{ij} es
es decir la tensión en i sobre la corriente inyectada en j con las demás fuentes anuladas; matemáticamente R_{ij}=(G^{-1})_{ij}.
Tres ejemplos:
Red con R_a=1\\ \Omega,\;R_b=2\\ \Omega,\;R_c=3\\ \Omega (nodo 1 a tierra vía R_a, nodo 2 a tierra vía R_b, y R_c entre 1 y 2): se obtiene R_{12}=R_{21}=\tfrac{1}{3}\\ \Omega (ver cálculo por nodal/ G^{-1}).
Estructura elástica con resortes (matriz de rigidez K simétrica): la compliance de transferencia C_{ij}=u_i/F_j=(K^{-1})_{ij} cumple C_{ij}=C_{ji} (Maxwell–Betti).
Red resistiva arbitraria y pasiva: para cualquier par de nodos i,j se tiene R_{ij}=R_{ji} siempre que la red sea lineal y bilateral; si hay elementos no recíprocos (gyrador, ciertos elementos activos) la igualdad puede fallar (contraejemplo).