( 2,5 pontos) Uma lâmpada incandescente de 110 \mathrm{~V} / 40 \mathrm{~W} (valores nominais) dentro de uma caixa com dimensões são 1681 \mathrm{~mm} \times 560 \mathrm{~mm} \times 682 \mathrm{~mm}, isolada termicamente do ambiente e contendo ar seco é ligada a rede elétrica de 127 V . Sabendo que a densidade e o calor específico do ar seco é \rho_{\text {ar }}=1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \mathrm{c}_{\text {par }}=1,005 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C}, determinar (a) corrente elétrica na lâmpada, (b) potência elétrica dissipada na lâmpada, (c) taxa de variação da temperatura interna do ar interno da caixa.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Lâmpada nominal: 110\\ \mathrm{V},\\\ 40\\ \mathrm{W} (valores nominais).
  • Tensão aplicada: 127\\ \mathrm{V}.
  • Dimensões da caixa (peguei do enunciado): 1681\\ \mathrm{mm}\times560\\ \mathrm{mm}\times682\\ \mathrm{mm}.
  • Densidade do ar: \rho_{\text{ar}}=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Calor específico do ar: c_{\text{par}}=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\,^{\circ}C)}.
O enunciado pede:
(a) a corrente elétrica na lâmpada quando ligada a 127\\ \mathrm{V};
(b) a potência elétrica dissipada na lâmpada nessa tensão;
(c) a taxa de variação da temperatura do ar dentro da caixa (assumindo a caixa isolada termicamente e ar seco).
Observações (úteis para a resolução): as dimensões estão em milímetros — vou converter para metros; o calor específico está em \mathrm{kJ/kg^\circ C} — vou converter para \mathrm{J/kg^\circ C}. Também vou assumir que a resistência elétrica do filamento pode ser estimada a partir dos valores nominais da lâmpada (ou seja, usar R=\dfrac{V_{\text{nom}}^{2}}{P_{\text{nom}}}).

Passo 2

Determinar a resistência do filamento usando os valores nominais da lâmpada. Aula rápida: para um resistor (filamento) a potência elétrica pode ser escrita como \displaystyle P=\frac{V^{2}}{R}. Isolando R obtemos \displaystyle R=\frac{V^{2}}{P}. Aqui V é a tensão nominal ( 110\\ \mathrm{V}) e P é a potência nominal ( 40\\ \mathrm{W}).
Calculemos:
R=\frac{110^{2}}{40}=\frac{12100}{40}=302{,}5\\ \Omega.
Comentário didático: essa é uma aproximação razoável para problemas de prova. Na prática a resistência do filamento muda com a temperatura, mas sem informações adicionais esta é a forma usual de estimativa.

Passo 3

Calcular a corrente elétrica quando a lâmpada é conectada a 127\\ \mathrm{V}. Aula rápida: a Lei de Ohm diz \displaystyle I=\frac{V}{R}, onde I é a corrente, V a tensão aplicada e R a resistência.
Aplicando:
I=\frac{127}{302{,}5}=\frac{254}{605}\approx0{,}4198\\ \mathrm{A}.
Interpretação: a corrente aumenta em relação ao valor nominal porque a tensão aplicada é maior que a nominal.

Passo 4

Calcular a potência elétrica dissipada na lâmpada à tensão de 127\\ \mathrm{V}. Aula rápida: potência também pode ser escrita como \displaystyle P=V\cdot I ou \displaystyle P=\frac{V^{2}}{R} (mesma relação usada antes). Usarei a segunda forma com V=127\\ \mathrm{V} e R=302{,}5\\ \Omega.
P=\frac{127^{2}}{302{,}5}=\frac{16129}{302{,}5}=\frac{32258}{605}\approx53{,}31818\\ \mathrm{W}.
Arredondando convenientemente: P\approx53{,}32\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Calcular o volume da caixa e a massa de ar contida. Primeiro converter dimensões de mm para m (a conversão é 1\\ \mathrm{mm}=10^{-3}\\ \mathrm{m}):
\text{dimensões: }1{,}681\\ \mathrm{m}\times0{,}560\\ \mathrm{m}\times0{,}682\\ \mathrm{m}.õ
Volume:
V=1{,}681\times0{,}560\times0{,}682\\ \mathrm{m^{3}}=0{,}64200752\\ \mathrm{m^{3}}\\ (\text{aprox. }0{,}6420\\ \mathrm{m^{3}}).
Massa de ar ( m) usando m=\rho V:
m=1{,}2\times0{,}64200752\\ \mathrm{kg}=0{,}770409024\\ \mathrm{kg}\\ (\text{aprox. }0{,}7704\\ \mathrm{kg}).
Explicação: aqui considera-se que a caixa está cheia apenas de ar seco com densidade dada; a massa é pequena porque o volume não é enorme.

Passo 6

Converter o calor específico para unidades coerentes e escrever o balanço energético para a caixa isolada. O calor específico dado é c_{\text{par}}=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)}. Converter para joules:
c=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)}=1005\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}.
Aula rápida de termodinâmica elementar aplicada: para um sistema termicamente isolado (sem trocas de calor com o ambiente), toda a potência elétrica dissipada se transforma em energia interna do ar, aumentando sua temperatura. A taxa de ganho de energia interna é
P=m\,c\,\frac{dT}{dt},
onde \displaystyle \frac{dT}{dt} é a taxa de variação da temperatura desejada. Isolando:
\frac{dT}{dt}=\frac{P}{m\,c}.
Observações de prova: aqui estamos negligenciando a capacidade térmica da lâmpada, das paredes da caixa, radiação ou outras perdas; isto é razoável quando o enunciado diz “isolada termicamente” e pede a taxa para o ar.

Passo 7

Calcular numericamente a taxa \displaystyle \frac{dT}{dt} usando P encontrado no Passo 4, m do Passo 5 e c do Passo 6.
Denominador:
m\,c=0{,}770409024\times1005\\ \mathrm{J/^\circ C}\approx774{,}26107\\ \mathrm{J/^\circ C}.
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\frac{dT}{dt}=\frac{53{,}31818}{774{,}26107}\\ \mathrm{^\circ C/s}\approx0{,}06886\\ \mathrm{^\circ C/s}.
Para dar uma ideia mais intuitiva, em \mathrm{^\circ C/min}:
0{,}06886\times60\approx4{,}1316\\ \mathrm{^\circ C/min}.
Interpretação final: a temperatura do ar dentro da caixa sobe rapidamente porque a massa de ar é pequena e toda a potência da lâmpada aquece esse ar confinado.

Resposta

(a) I\approx0{,}4198\\ \mathrm{A}
(b) P\approx53{,}32\\ \mathrm{W}
(c) \dfrac{dT}{dt}\approx0{,}0689\\ \mathrm{^\circ C/s} (≈ 4{,}13\\ \mathrm{^\circ C/min})

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