Para dois elétrons, cada um com S=\frac{1}{2}, os autovalores de S^{2} e S_{z} são dados por:
S^{2}=S(S+1) \hbar^{2}, \quad S_{z}=m_{S} \hbar
Assinale a alternativa que descreve corretamente todas as combinações possíveis de \left(S, m_{S}\right) :
A) \left(S=0, m_{S}=-1,0,+1\right) e \left(S=1, m_{S}=0\right)
B) \left(S=1, m_{S}=-1,0,+1\right) e \left(S=0, m_{S}=0\right)
C) \left(S=\frac{1}{2}, m_{S}= \pm \frac{1}{2}\right) \mathrm{e}\left(S=1, m_{S}=0\right)
D) \left(S=1, m_{S}= \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}\right) e \left(S=0, m_{S}=0\right)
E) Apenas ( S=0, m_{S}=0 )
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma escolha entre alternativas:
Dois elétrons, cada um com spin individual S=\tfrac{1}{2}.
Para um estado de spin total vale
S^{2}=S(S+1)\hbar^{2},\qquad S_{z}=m_{S}\hbar.
Pergunta: qual alternativa descreve corretamente todas as combinações possíveis de \left(S,m_{S}\right) para o sistema de dois spins 1/2.
Informações relevantes explicitadas:
Cada elétron tem valores possíveis de projeção m_{1},m_{2}=\pm\tfrac{1}{2}.
O espaço de estados combinados tem dimensão 2\times2=4 (quatro estados de base produto).
As alternativas listam possíveis pares (S,m_{S}); temos de identificar qual corresponde aos autovalores possíveis do operador total de spin do par.
Passo 2
Montar a base produto dos dois spins (produto das bases de cada elétron). Os quatro estados produto (indicando as projeções individuais) são:
Esses quatro estados formam uma base completa do espaço de spins do sistema a dois. Nesta base, o operador S_{z}=S_{1z}+S_{2z} age somando as projeções individuais, logo os valores possíveis de m_{S} (soma m_{1}+m_{2}) podem ser obtidos diretamente.
Passo 3
Calcular as somas das projeções individuais para obter os possíveis m_{S}:
Portanto os valores possíveis de m_{S} obtidos a partir das bases produto são -1,0,+1. Observe que o valor m_{S}=0 aparece duas vezes (duas combinações produto), indicando que deve haver duas combinações lineares dessas bases que diagonalizam S^{2} com autovalores possivelmente diferentes.
Passo 4
Usar a regra de adição de momentos angulares (sem medo, é simples): se somam dois spins s_{1} e s_{2}, os valores possíveis do spin total S são
Aqui dá para ver limpinho: o triplet é simétrico sob troca das partículas (para o estado \left|1,0\right\rangle a soma é simétrica) e o singlet é antissimétrico (a diferença). Importante para física de elétrons (princípio de exclusão, etc.), mas para a questão a conclusão é que os pares (S,m_{S}) possíveis são exatamente os listados acima.]
Passo 6
Comparar com as alternativas: a alternativa que descreve exatamente os pares é
Força aí — esse tipo de soma de spins aparece direto em prova; a receita é sempre: listar estados produto, somar projeções para seus m_{S}, e usar a regra S=|s_1-s_2|,\dots,s_1+s_2 para os possíveis valores de S.
Resposta
B) \left(S=1, m_{S}=-1,0,+1\right) e \left(S=0, m_{S}=0\right)