Para dois elétrons, cada um com S=\frac{1}{2}, os autovalores de S^{2} e S_{z} são dados por:
S^{2}=S(S+1) \hbar^{2}, \quad S_{z}=m_{S} \hbar
Assinale a alternativa que descreve corretamente todas as combinações possíveis de \left(S, m_{S}\right) :
A) \left(S=0, m_{S}=-1,0,+1\right) e \left(S=1, m_{S}=0\right)
B) \left(S=1, m_{S}=-1,0,+1\right) e \left(S=0, m_{S}=0\right)
C) \left(S=\frac{1}{2}, m_{S}= \pm \frac{1}{2}\right) \mathrm{e}\left(S=1, m_{S}=0\right)
D) \left(S=1, m_{S}= \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}\right) e \left(S=0, m_{S}=0\right)
E) Apenas ( S=0, m_{S}=0 )

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma escolha entre alternativas:
  • Dois elétrons, cada um com spin individual S=\tfrac{1}{2}.
  • Para um estado de spin total vale
S^{2}=S(S+1)\hbar^{2},\qquad S_{z}=m_{S}\hbar.
  • Pergunta: qual alternativa descreve corretamente todas as combinações possíveis de \left(S,m_{S}\right) para o sistema de dois spins 1/2.
Informações relevantes explicitadas:
  • Cada elétron tem valores possíveis de projeção m_{1},m_{2}=\pm\tfrac{1}{2}.
  • O espaço de estados combinados tem dimensão 2\times2=4 (quatro estados de base produto).
  • As alternativas listam possíveis pares (S,m_{S}); temos de identificar qual corresponde aos autovalores possíveis do operador total de spin do par.

Passo 2

Montar a base produto dos dois spins (produto das bases de cada elétron). Os quatro estados produto (indicando as projeções individuais) são:
\begin{aligned} &\left|+\tfrac{1}{2},+\tfrac{1}{2}\right\rangle,\\\ &\left|+\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right\rangle,\\\ &\left|-\tfrac{1}{2},+\tfrac{1}{2}\right\rangle,\\\ &\left|-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right\rangle. \end{aligned}
Esses quatro estados formam uma base completa do espaço de spins do sistema a dois. Nesta base, o operador S_{z}=S_{1z}+S_{2z} age somando as projeções individuais, logo os valores possíveis de m_{S} (soma m_{1}+m_{2}) podem ser obtidos diretamente.

Passo 3

Calcular as somas das projeções individuais para obter os possíveis m_{S}:
\begin{aligned} &+\tfrac{1}{2} + +\tfrac{1}{2} = +1,\\\ &+\tfrac{1}{2} + -\tfrac{1}{2} = 0,\\\ &-\tfrac{1}{2} + +\tfrac{1}{2} = 0,\\\ &-\tfrac{1}{2} + -\tfrac{1}{2} = -1. \end{aligned}
Portanto os valores possíveis de m_{S} obtidos a partir das bases produto são -1,0,+1. Observe que o valor m_{S}=0 aparece duas vezes (duas combinações produto), indicando que deve haver duas combinações lineares dessas bases que diagonalizam S^{2} com autovalores possivelmente diferentes.

Passo 4

Usar a regra de adição de momentos angulares (sem medo, é simples): se somam dois spins s_{1} e s_{2}, os valores possíveis do spin total S são
S=|s_{1}-s_{2}|,\;|s_{1}-s_{2}|+1,\;\dots,\;s_{1}+s_{2}.
Aqui s_{1}=s_{2}=\tfrac{1}{2}, então
S=|\,\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\,|=0\quad\text{ou}\quad S=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1.
Para cada valor de S 2S+1 valores de m_{S} igualmente espaçados de -S até +S. Assim:
  • Se S=1 (triplet), então m_{S}=-1,0,+1 (três estados).
  • Se S=0 (singlet), então m_{S}=0 (um estado).
Como o espaço total tem dimensão 4, a contagem bate: 3 estados do triplet mais 1 do singlet = 4.

Passo 5

Mostrar explicitamente as combinações (útil para prova): os autovetores de S^{2} e S_{z} são os seguintes (escritos em termos da base produto):
  • Triplet ( S=1):
\begin{aligned} &\left|1,1\right\rangle=\left|+\tfrac{1}{2},+\tfrac{1}{2}\right\rangle,\\[4pt] &\left|1,0\right\rangle=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Big(\left|+\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right\rangle+\left|-\tfrac{1}{2},+\tfrac{1}{2}\right\rangle\Big),\\[4pt] &\left|1,-1\right\rangle=\left|-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right\rangle. \end{aligned}
  • Singlet ( S=0):
\left|0,0\right\rangle=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Big(\left|+\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right\rangle-\left|-\tfrac{1}{2},+\tfrac{1}{2}\right\rangle\Big).
Aqui dá para ver limpinho: o triplet é simétrico sob troca das partículas (para o estado \left|1,0\right\rangle a soma é simétrica) e o singlet é antissimétrico (a diferença). Importante para física de elétrons (princípio de exclusão, etc.), mas para a questão a conclusão é que os pares (S,m_{S}) possíveis são exatamente os listados acima.]

Passo 6

Comparar com as alternativas: a alternativa que descreve exatamente os pares é
\left(S=1,\;m_{S}=-1,0,+1\right)\quad\text{e}\quad\left(S=0,\;m_{S}=0\right),
que corresponde à alternativa B.
Força aí — esse tipo de soma de spins aparece direto em prova; a receita é sempre: listar estados produto, somar projeções para seus m_{S}, e usar a regra S=|s_1-s_2|,\dots,s_1+s_2 para os possíveis valores de S.

Resposta

B) \left(S=1, m_{S}=-1,0,+1\right) e \left(S=0, m_{S}=0\right)

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