Para um sistema de duas partículas idênticas cujo Hamiltoniano é invariante sob a troca das partículas, considere as seguintes afirmações:
  1. A permutação das partículas não altera os valores esperados de observáveis físicos.
  2. A função de onda total deve ser sempre simétrica.
  3. Férmions possuem função de onda antissimétrica e isso implica diretamente o Princípio de Exclusão de Pauli.
  4. Bósons possuem função de onda simétrica, mas podem, em princípio, ocupar estados antissimétricos desde que suas funções espaciais e de spin compensem-se mutuamente.
Qual alternativa contém apenas afirmativas corretas?
A) 1 e 3
B) 1, 3 e 4
C) 3 e 4
D) Apenas 1
E) 1, 2 e 3

Passo 1

O enunciado lista quatro afirmativas sobre um sistema de duas partículas idênticas e pede que eu escolha a alternativa que contém apenas as afirmativas corretas. As afirmativas são:
  1. A permutação das partículas não altera os valores esperados de observáveis físicos.
  2. A função de onda total deve ser sempre simétrica.
  3. Férmions possuem função de onda antissimétrica e isso implica diretamente o Princípio de Exclusão de Pauli.
  4. Bósons possuem função de onda simétrica, mas podem, em princípio, ocupar estados antissimétricos desde que suas funções espaciais e de spin compensem-se mutuamente.
O objetivo é verificar, uma a uma, a validade dessas afirmativas e então escolher a alternativa correta entre A) a E).

Passo 2

Entendendo o efeito da permutação em valores esperados (análise da afirmativa 1).
Primeiro, defino o operador de permutação que troca as partículas 1 e 2: \hat{P}_{12}. A ação em um estado de duas partículas \ket{\Psi} é \hat{P}_{12}\ket{\Psi} (troca as coordenadas/labels das partículas). Observáveis físicos genuínos são operadores simétricos sob troca de partículas, isto é, para um observável físico \hat{A} vale
\hat{P}_{12}\,\hat{A}\,\hat{P}_{12}^{-1}=\hat{A}.
Agora mostro por que a expectativa não muda quando se permuta as partículas: a expectativa de \hat{A} no estado \ket{\Psi} é \langle\hat{A}\rangle=\langle\Psi|\hat{A}|\Psi\rangle. Aplicando \hat{P}_{12} em |\Psi\rangle e usando a simetria do operador,
\langle\Psi|\hat{A}|\Psi\rangle =\langle\Psi|\hat{P}_{12}^{-1}\hat{P}_{12}\hat{A}\hat{P}_{12}^{-1}\hat{P}_{12}|\Psi\rangle =\langle\hat{P}_{12}\Psi|\hat{A}|\hat{P}_{12}\Psi\rangle.
Isso significa que, se permuta-se os rótulos das partículas, a expectativa de qualquer observável físico permanece a mesma. Portanto, a afirmativa 1 é correta. Observação importante: isto vale para observáveis físicos (operadores invariantes por permutação); a igualdade dos valores esperados é consequência direta da indistinguibilidade e da simetria dos observáveis.

Passo 3

Por que a função de onda total não precisa ser sempre simétrica (análise da afirmativa 2).
Para partículas idênticas quânticas a regra geral é: a função de onda total deve ser um autovetor do operador de permutação com autovalor +1 (simétrica) no caso de bósons, ou com autovalor -1 (antissimétrica) no caso de férmions. Formalmente,
\hat{P}_{12}\Psi(1,2)=\pm \Psi(1,2),
onde o sinal + corresponde a bósons e - a férmions. Logo, afirmar que a função de onda total “deve ser sempre simétrica” é falso: ela pode ser antissimétrica quando as partículas são férmions. Portanto, a afirmativa 2 é incorreta.

Passo 4

Férmions, antissimetria e o Princípio de Exclusão de Pauli (análise da afirmativa 3).
Considere dois férmions em estados de uma única partícula \phi_a e \phi_b. A função de dois corpos antissimétrica (determinante de Slater para dois elétrons) é
\Psi(1,2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\phi_a(1)\phi_b(2)-\phi_a(2)\phi_b(1)\bigr).
Se \phi_a=\phi_b (ambos nas mesmas funções de uma partícula), então os dois termos se cancelam e \Psi(1,2)=0. Uma função de onda nula não representa um estado físico normalizável, ou seja, é impossível colocar dois férmions no mesmo estado quântico. Isso é exatamente o Princípio de Exclusão de Pauli. Assim, a afirmativa 3 é correta: a antissimetria da função de onda para férmions implica diretamente a exclusão de ocupação do mesmo estado por dois férmions.

Passo 5

Bósons, simetria total e possibilidade de componentes antissimétricos (análise da afirmativa 4).
Para partículas com graus internos (por exemplo, coordenadas espaciais e spin) a função de onda total é produto (ou soma de produtos) das partes espacial e interna (spin). Para duas partículas:
\Psi_{\text{total}}(1,2)=\Psi_{\text{esp}}(1,2)\,\chi_{\text{spin}}(1,2).
A condição para bósons é que a troca produza sinal positivo:
\hat{P}_{12}\Psi_{\text{total}}(1,2)=+\Psi_{\text{total}}(1,2).
O sinal da troca do produto é o produto dos sinais das partes:
(\text{sinal de }\Psi_{\text{esp}})\times(\text{sinal de }\chi_{\text{spin}})=+1.
Portanto, é perfeitamente possível que a parte espacial seja antissimétrica ( -1) desde que a parte de spin também seja antissimétrica ( -1), porque (-1)\times(-1)=+1 e o total fica simétrico. Assim, bósons podem ter componentes individuais antissimétricas, contanto que a combinação total seja simétrica. Alguns comentários práticos/nuances:
  • Para bósons sem grau de spin (spin 0), não há parte de spin que compense, então a parte espacial deve ser necessariamente simétrica.
  • Só faz sentido falar em “spin antissimétrico” se existir o espaço de spin adequado (para partículas com spin inteiro). Para partículas com spin fracionário isso já seria férmions.
    A afirmativa 4, tal como escrita, está correta em sua ideia física: bósons têm função de onda total simétrica, mas podem ter partes (espaço ou spin) antissimétricas desde que a outra parte também seja antissimétrica, de modo que o total seja simétrico.

Passo 6

Conclusão final sobre quais afirmativas são corretas.
Resumindo cada afirmativa:
  • (1) correta — permutar os rótulos não muda expectativas de observáveis físicos (operadores simétricos).
  • (2) incorreta — a função total pode ser simétrica (bósons) ou antissimétrica (férmions).
  • (3) correta — antissimetria dos férmions implica o Princípio de Exclusão de Pauli.
  • (4) correta — bósons exigem simetria total, mas partes individuais da função de onda podem ser antissimétricas desde que combinadas de modo a tornar o total simétrico (com as nuances mencionadas).
Portanto as afirmativas corretas são 1, 3 e 4.

Resposta

B) 1, 3 e 4

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