Para um sistema de duas partículas idênticas cujo Hamiltoniano é invariante sob a troca das partículas, considere as seguintes afirmações:
- A permutação das partículas não altera os valores esperados de observáveis físicos.
- A função de onda total deve ser sempre simétrica.
- Férmions possuem função de onda antissimétrica e isso implica diretamente o Princípio de Exclusão de Pauli.
- Bósons possuem função de onda simétrica, mas podem, em princípio, ocupar estados antissimétricos desde que suas funções espaciais e de spin compensem-se mutuamente.
Qual alternativa contém apenas afirmativas corretas?
A) 1 e 3
B) 1, 3 e 4
C) 3 e 4
D) Apenas 1
E) 1, 2 e 3
A) 1 e 3
B) 1, 3 e 4
C) 3 e 4
D) Apenas 1
E) 1, 2 e 3
Passo 1
O enunciado lista quatro afirmativas sobre um sistema de duas partículas idênticas e pede que eu escolha a alternativa que contém apenas as afirmativas corretas. As afirmativas são:
- A permutação das partículas não altera os valores esperados de observáveis físicos.
- A função de onda total deve ser sempre simétrica.
- Férmions possuem função de onda antissimétrica e isso implica diretamente o Princípio de Exclusão de Pauli.
- Bósons possuem função de onda simétrica, mas podem, em princípio, ocupar estados antissimétricos desde que suas funções espaciais e de spin compensem-se mutuamente.
O objetivo é verificar, uma a uma, a validade dessas afirmativas e então escolher a alternativa correta entre A) a E).
Passo 2
Entendendo o efeito da permutação em valores esperados (análise da afirmativa 1).
Primeiro, defino o operador de permutação que troca as partículas 1 e 2:
. A ação em um estado de duas partículas
é
(troca as coordenadas/labels das partículas). Observáveis físicos genuínos são operadores simétricos sob troca de partículas, isto é, para um observável físico
vale
Agora mostro por que a expectativa não muda quando se permuta as partículas: a expectativa de
no estado
é
. Aplicando
em
e usando a simetria do operador,
Isso significa que, se permuta-se os rótulos das partículas, a expectativa de qualquer observável físico permanece a mesma. Portanto, a afirmativa 1 é correta. Observação importante: isto vale para observáveis físicos (operadores invariantes por permutação); a igualdade dos valores esperados é consequência direta da indistinguibilidade e da simetria dos observáveis.
Passo 3
Por que a função de onda total não precisa ser sempre simétrica (análise da afirmativa 2).
Para partículas idênticas quânticas a regra geral é: a função de onda total deve ser um autovetor do operador de permutação com autovalor
(simétrica) no caso de bósons, ou com autovalor
(antissimétrica) no caso de férmions. Formalmente,
onde o sinal
corresponde a bósons e
a férmions. Logo, afirmar que a função de onda total “deve ser sempre simétrica” é falso: ela pode ser antissimétrica quando as partículas são férmions. Portanto, a afirmativa 2 é incorreta.
Passo 4
Férmions, antissimetria e o Princípio de Exclusão de Pauli (análise da afirmativa 3).
Considere dois férmions em estados de uma única partícula
e
. A função de dois corpos antissimétrica (determinante de Slater para dois elétrons) é
Se
(ambos nas mesmas funções de uma partícula), então os dois termos se cancelam e
. Uma função de onda nula não representa um estado físico normalizável, ou seja, é impossível colocar dois férmions no mesmo estado quântico. Isso é exatamente o Princípio de Exclusão de Pauli. Assim, a afirmativa 3 é correta: a antissimetria da função de onda para férmions implica diretamente a exclusão de ocupação do mesmo estado por dois férmions.
Passo 5
Bósons, simetria total e possibilidade de componentes antissimétricos (análise da afirmativa 4).
Para partículas com graus internos (por exemplo, coordenadas espaciais e spin) a função de onda total é produto (ou soma de produtos) das partes espacial e interna (spin). Para duas partículas:
A condição para bósons é que a troca produza sinal positivo:
O sinal da troca do produto é o produto dos sinais das partes:
Portanto, é perfeitamente possível que a parte espacial seja antissimétrica (
) desde que a parte de spin também seja antissimétrica (
), porque
e o total fica simétrico. Assim, bósons podem ter componentes individuais antissimétricas, contanto que a combinação total seja simétrica. Alguns comentários práticos/nuances:
- Para bósons sem grau de spin (spin
), não há parte de spin que compense, então a parte espacial deve ser necessariamente simétrica. - Só faz sentido falar em “spin antissimétrico” se existir o espaço de spin adequado (para partículas com spin inteiro). Para partículas com spin fracionário isso já seria férmions.
A afirmativa 4, tal como escrita, está correta em sua ideia física: bósons têm função de onda total simétrica, mas podem ter partes (espaço ou spin) antissimétricas desde que a outra parte também seja antissimétrica, de modo que o total seja simétrico.
Passo 6
Conclusão final sobre quais afirmativas são corretas.
Resumindo cada afirmativa:
- (1) correta — permutar os rótulos não muda expectativas de observáveis físicos (operadores simétricos).
- (2) incorreta — a função total pode ser simétrica (bósons) ou antissimétrica (férmions).
- (3) correta — antissimetria dos férmions implica o Princípio de Exclusão de Pauli.
- (4) correta — bósons exigem simetria total, mas partes individuais da função de onda podem ser antissimétricas desde que combinadas de modo a tornar o total simétrico (com as nuances mencionadas).
Portanto as afirmativas corretas são 1, 3 e 4.
Resposta
B) 1, 3 e 4