Dois elétrons se movem em direções opostas a uma velocidade de 0,70c no referencial do laboratório. A velocidade de um dos elétrons no referencial do outro é
0,35c
0,70c
0,94c
1,00c
1,40c
0,35c
0,70c
0,94c
1,00c
1,40c
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (todas pegadas do próprio enunciado):
- Dois elétrons movem-se em direções opostas, ambos com velocidade
no referencial do laboratório. - Quer-se a velocidade de um dos elétrons no referencial do outro (ou seja, a velocidade relativa de um em relação ao outro).
Dados organizados:
- Velocidade do elétron A no laboratório:
(escolhi o sentido positivo). - Velocidade do elétron B no laboratório:
(oposta a ). - Pergunta: calcular a velocidade de B no referencial de A (denotar por
).
Passo 2
Por que não posso somar
direto?
No regime relativístico (próximo de ) a adição de velocidades clássica falha: nada pode ultrapassar
. Para obter a velocidade correta usa-se a fórmula relativística de adição de velocidades em uma dimensão.
No regime relativístico (próximo de
Fórmula (resultado das transformações de Lorentz). Se um referencial
move-se em velocidade
em relação a
, e em
um objeto tem velocidade
, então a velocidade do objeto em
é
O que cada símbolo significa:
-
: velocidade do referencial em relação a (aqui: velocidade do elétron A no laboratório). -
: velocidade do objeto no referencial (aqui: velocidade do elétron B no laboratório). -
: velocidade do objeto no referencial (aqui: velocidade de B no referencial de A). -
: velocidade da luz.
Rápida derivação (intuição): comece das transformações de Lorentz para pequenos deslocamentos:
onde
é o fator de Lorentz. Dividindo
obtém-se a fórmula acima porque o
cancela:
Passo 3
Agora aplicar a fórmula aos números dados. Tomando
(velocidade de A relativa ao laboratório) e
(velocidade de B relativa ao laboratório):
Substituindo em
temos:
Numerador:
Denominador:
Logo
Fazendo a divisão (aproximação manual):
Portanto
O sinal negativo indica que, no referencial do elétron A, o elétron B move-se no sentido oposto ao escolhido como positivo; o módulo (velocidade relativa) é
.
Passo 4
Interpretação e dica prática para a prova:
- A soma clássica daria
, o que é impossível relativisticamente — por isso a fórmula corrige isso e sempre dá um resultado com . - Em questões de prova memorize a fórmula
e verifique sempre os sinais das velocidades (sentidos). - Ao reportar a resposta como “velocidade” costuma-se dar o módulo; se pedirem o vetor/ direção, inclua o sinal. Aqui a alternativa correta como velocidade relativa (módulo) é
. Vai dar certo — respira, você já dominou o essencial!