Dois elétrons se movem em direções opostas a uma velocidade de 0,70c no referencial do laboratório. A velocidade de um dos elétrons no referencial do outro é
0,35c
0,70c
0,94c
1,00c
1,40c

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas pegadas do próprio enunciado):
  • Dois elétrons movem-se em direções opostas, ambos com velocidade 0,70c no referencial do laboratório.
  • Quer-se a velocidade de um dos elétrons no referencial do outro (ou seja, a velocidade relativa de um em relação ao outro).
Dados organizados:
  • Velocidade do elétron A no laboratório: u = +0,70c (escolhi o sentido positivo).
  • Velocidade do elétron B no laboratório: v = -0,70c (oposta a u).
  • Pergunta: calcular a velocidade de B no referencial de A (denotar por v').

Passo 2

Por que não posso somar 0,70c+0,70c=1,40c direto?
No regime relativístico (próximo de c) a adição de velocidades clássica falha: nada pode ultrapassar c. Para obter a velocidade correta usa-se a fórmula relativística de adição de velocidades em uma dimensão.
Fórmula (resultado das transformações de Lorentz). Se um referencial S' move-se em velocidade u em relação a S, e em S um objeto tem velocidade v, então a velocidade do objeto em S' é
v'=\frac{v-u}{1-\dfrac{u v}{c^2}}.
O que cada símbolo significa:
  • u: velocidade do referencial S' em relação a S (aqui: velocidade do elétron A no laboratório).
  • v: velocidade do objeto no referencial S (aqui: velocidade do elétron B no laboratório).
  • v': velocidade do objeto no referencial S' (aqui: velocidade de B no referencial de A).
  • c: velocidade da luz.
Rápida derivação (intuição): comece das transformações de Lorentz para pequenos deslocamentos:
dx'=\gamma\,(dx-u\,dt),\qquad dt'=\gamma\!\left(dt-\frac{u\,dx}{c^2}\right),
onde \gamma é o fator de Lorentz. Dividindo dx'/dt' obtém-se a fórmula acima porque o \gamma cancela:
v'=\frac{dx'}{dt'}=\frac{dx-u\,dt}{dt-\dfrac{u\,dx}{c^2}}=\frac{v-u}{1-\dfrac{u v}{c^2}}.

Passo 3

Agora aplicar a fórmula aos números dados. Tomando u=+0,70c (velocidade de A relativa ao laboratório) e v=-0,70c (velocidade de B relativa ao laboratório):
Substituindo em
v'=\frac{v-u}{1-\dfrac{u v}{c^2}},
temos:
Numerador:
v-u = (-0,70c) - (+0,70c) = -1,40c.
Denominador:
1-\frac{u v}{c^2} =1-\frac{(0,70c)(-0,70c)}{c^2} =1-(-0,49) =1+0,49 =1,49.
Logo
v'=\frac{-1,40c}{1,49}=-\frac{1,40}{1,49}\,c.
Fazendo a divisão (aproximação manual):
\frac{1,40}{1,49}\approx0,9396\ldots
Portanto
v'\approx-0,9396\,c\approx-0,94c.
O sinal negativo indica que, no referencial do elétron A, o elétron B move-se no sentido oposto ao escolhido como positivo; o módulo (velocidade relativa) é 0,94c.

Passo 4

Interpretação e dica prática para a prova:
  • A soma clássica daria 1,40c, o que é impossível relativisticamente — por isso a fórmula corrige isso e sempre dá um resultado com |v'|<c.
  • Em questões de prova memorize a fórmula \displaystyle v'=\frac{v-u}{1-\frac{uv}{c^2}} e verifique sempre os sinais das velocidades (sentidos).
  • Ao reportar a resposta como “velocidade” costuma-se dar o módulo; se pedirem o vetor/ direção, inclua o sinal. Aqui a alternativa correta como velocidade relativa (módulo) é 0,94c. Vai dar certo — respira, você já dominou o essencial!

Resposta

0,94c

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